Se an=1 cdot 3 cdot 5 cdots cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot(2 n). Calcule lim n infty an.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)
e pede limntoinftyan. O conteúdo principal é manipular produtos de inteiros (usando fatoriais) e depois estimar o comportamento para n grande com a fórmula de Stirling.

Passo 2

Vamos reescrever o produto em termos de fatoriais. Observe que
– o produto dos primeiros n números ímpares é
1cdot3cdot5cdots(2n-1) =(2n)!2cdot4cdot6cdots(2n) =(2n)!2^n,n!,
– o produto dos primeiros n números pares é
2cdot4cdot6cdots(2n)=2^n,n!
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an =(2n)!2^n,n!2^n,n! =(2n)!2^2n,(n!)^2

Passo 3

Para estimar (2n)!/(n!)^2 usamos a fórmula de Stirling
n!simraiz2pi n,l(tfrac n er)^n
Então
(2n)!simraiz4pi n,l(tfrac2ner)^2n, n!simraiz2pi n,l(tfrac n er)^n
Substituindo em an:
an sim raiz4pi n,(2n/e)^2n2^2n,l(raiz2pi n,(n/e)^nr)^2 =2raizpi n,(2n/e)^2n2^2n,2pi n,(n/e)^2n

Passo 4

Agora simplificamos as potências e a constante:
(2n/e)^2n2^2n(n/e)^2n =l(2n/e2(n/e)r)^2n=1,
e a parte numérica fica
2raizpi n2pi n =1raizpi n
Portanto
ansim1raizpi n,
e
limntoinftyan=0

Resposta

0

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