Prove que a se a sequência
é convergente então a sequência
também é convergente. Além disso, se
então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a sequência
converge para um limite
, então a sequência
também converge e, mais precisamente,
O conteúdo usado será a definição de limite de sequência (prova
–
) e o fato de que sequências convergentes são limitadas.
Passo 2
Como
converge para
, ela é limitada. Ou seja, existe uma constante
tal que para todo
Passo 3
Observe a diferença entre
e
:
Mas
logo
Passo 4
Dado
varepsilon>0 , escolha
N tal que, para todo
n>= N ,
Então, para
n>= N ,
Isso mostra que
an^2 converge para
L^2 .
Resposta
A sequência
an^2 é convergente e