Prove que a se a sequência an é convergente então a sequência (an)^2 também é convergente. Além disso, se lim n infty an=L então lim n infty(an)^2=L^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a sequência an converge para um limite L, então a sequência an^2 também converge e, mais precisamente,
limntoinftyan=LLongrightarrowlimntoinftyan^2=L^2
O conteúdo usado será a definição de limite de sequência (prova varepsilon N) e o fato de que sequências convergentes são limitadas.

Passo 2

Como an converge para L, ela é limitada. Ou seja, existe uma constante B>0 tal que para todo n
|an|<= B

Passo 3

Observe a diferença entre an^2 e L^2:
|an^2 - L^2| = |an - L|;l|an + Lr|
Mas
l|an + Lr|<= |an| + |L|<= B + |L|,
logo
|an^2 - L^2|<= (B + |L|),|an - L|

Passo 4

Dado varepsilon>0, escolha N tal que, para todo n>= N,
|an - L| < varepsilonB + |L|
Então, para n>= N,
|an^2 - L^2|<= (B + |L|),|an - L| < (B + |L|),varepsilonB + |L| = varepsilon
Isso mostra que an^2 converge para L^2.

Resposta

A sequência an^2 é convergente e
limntoinftyan^2 = L^2

Exercícios relacionados