Calcule a integral iterada
integral0^1 integral0^2 x y e^x^2 y d y d x

Passo 1

O enunciado pede a integral iterada
integral0^1integral0^2 x,y,e^x^2y,dy,dx
O conteúdo envolve integração dupla e o uso do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração, além de integrais de funções de uma variável.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, como x,y,e^x^2y é contínua em [0,1]times[0,2], podemos trocar a ordem de integração:
integral0^1integral0^2 x,y,e^x^2y,dy,dx = integral0^2integral0^1 x,y,e^x^2y,dx,dy

Passo 3

Na integral interna em x, com y fixo, usamos a substituição u = x^2y. Então du = 2x,y,dx, isto é, x,dx = du2y. Logo,
integral0^1 x,e^x^2y,dx = integralu=0^u=y e^u,du2y = 12yl(e^y-1r)
Multiplicando por y, a integranda externa fica
ycdote^y-12y = e^y-12

Passo 4

Agora calculamos a integral em y:
integral0^2e^y-12,dy = 12l(integral0^2e^y,dy - integral0^21,dyr) = 12l((e^2-1)-2r) = e^2-32

Resposta

e^2-32

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