Calcule sumn=1^infty(-1)^n n2^n.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
sumn=1^infty(-1)^nn2^n
O conteúdo principal aqui é soma de séries de potências e uso da derivada da série geométrica.

Passo 2

Para começar, lembramos que, para |x|<1, vale a série geométrica
sumn=0^inftyx^n=11-x

Passo 3

Derivando termo a termo em x (válido para |x|<1), obtemos
sumn=1^inftyn,x^n-1 =ddxgl(11-xgr) =1(1-x)^2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x, chega-se à fórmula útil
sumn=1^inftyn,x^n =x(1-x)^2

Passo 5

Note que a série que queremos é
sumn=1^infty(-1)^nn2^n =sumn=1^inftyn,x^n com x=-tfrac12
Como lvert xrvert=1/2<1, podemos usar a fórmula acima.

Passo 6

Substituindo x=-tfrac12 em dfracx(1-x)^2, temos
-tfrac12l(1-(-tfrac12)r)^2 =-tfrac12l(1+tfrac12r)^2 =-tfrac12l(tfrac32r)^2 =-tfrac12tfrac94 =-12cdot49 =-29

Resposta

-tfrac29

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