Encontre o raio de convergência de , e o domínio de e de da função definida por
Passo 1
O enunciado nos dá a função de série de potências
e pede o raio de convergência, o domínio de e de . O conteúdo é séries de potências, e vamos usar o teste da razão e depois verificar a convergência nos extremos.
Passo 2
Para achar o raio de convergência de , aplicamos o teste da razão. Seja
Então
Para convergir, precisamos |x|<1. Logo o raio de convergência é
R=1
Passo 3
Agora verificamos os extremos do intervalo |x|<1:
Em x=1, a série vira
sumn=1^infty(-1)^nn+1,
que é série alternada com termos 1n+1 decrescentes e tendendo a zero. Converge (condicional).
Em x=-1, a série é
sumn=1^infty(-1)^n(-1)^nn+1 =sumn=1^infty1n+1,
que é essencialmente a série harmônica deslocada, portanto diverge.
Passo 4
Como converge para -1<x<1 e ainda em x=1, mas não em x=-1, o domínio de f é
(-1,,1]
Passo 5
Podemos derivar termo a termo dentro do raio de convergência. Assim
f'(x)=sumn=1^infty(-1)^n,nn+1,x^n-1
Passo 6
O raio de convergência de f' é também R=1. Nos extremos:
Para x=1, o termo geral tende a (-1)^nnn+1to (-1)^n, não vai a zero, logo diverge.
Para x=-1, o termo geral tende a (-1)^nnn+1(-1)^n-1to pm1, também não vai a zero, diverge.
Portanto o domínio de f' é o interior do intervalo de convergência, isto é
(-1,,1)
Resposta
R=1.
Domínio de f: (-1,,1].
Domínio de f': (-1,,1).