Encontre o raio de convergência de f, e o domínio de f e de f^prime da função definida por f(x)=sumn=1^infty (-1)^n x^nn+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função de série de potências
f(x)=sumn=1^infty(-1)^nn+1,x^n
e pede o raio de convergência, o domínio de f e de f'. O conteúdo é séries de potências, e vamos usar o teste da razão e depois verificar a convergência nos extremos.

Passo 2

Para achar o raio de convergência de f, aplicamos o teste da razão. Seja
an=(-1)^nn+1e un=anx^n
Então
limntoinfty|un+1un| =limntoinftygl|(-1)^n+1n+2,x^n+1cdotn+1(-1)^n,x^ngr| =|x|limntoinftyn+1n+2=|x|
Para convergir, precisamos |x|<1. Logo o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Agora verificamos os extremos do intervalo |x|<1:
Em x=1, a série vira
sumn=1^infty(-1)^nn+1,
que é série alternada com termos 1n+1 decrescentes e tendendo a zero. Converge (condicional).
Em x=-1, a série é
sumn=1^infty(-1)^n(-1)^nn+1 =sumn=1^infty1n+1,
que é essencialmente a série harmônica deslocada, portanto diverge.

Passo 4

Como converge para -1<x<1 e ainda em x=1, mas não em x=-1, o domínio de f é
(-1,,1]

Passo 5

Podemos derivar termo a termo dentro do raio de convergência. Assim
f'(x)=sumn=1^infty(-1)^n,nn+1,x^n-1

Passo 6

O raio de convergência de f' é também R=1. Nos extremos:
  • Para x=1, o termo geral tende a (-1)^nnn+1to (-1)^n, não vai a zero, logo diverge.
  • Para x=-1, o termo geral tende a (-1)^nnn+1(-1)^n-1to pm1, também não vai a zero, diverge.
Portanto o domínio de f' é o interior do intervalo de convergência, isto é
(-1,,1)

Resposta

R=1.
Domínio de f: (-1,,1].
Domínio de f': (-1,,1).

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