Prove que
é uma solução de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação diferencial
O conteúdo usado será diferenciação de séries de potências termo a termo e reindexação para reconhecer a soma original.
Passo 2
Vamos calcular
diferenciando termo a termo. Para
temos
Note que o termo
da soma é constante (
), por isso só aparece no “1”.
Passo 3
Agora derivamos de novo para obter
.
Como
segue
Passo 4
Reindexando na soma de
usando
, temos
e quando
então
. Assim
Passo 5
Observe que
Logo, somando
cancelam-se as somas em série:
Passo 6
Então
o que mostra que
satisfaz a equação dada.
Resposta
A função
é solução de