Prove que y=x+sumn=0^infty(-1)^n x^2 n(2 n) ! é uma solução de y^prime prime+y-x=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
y(x)=x+sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!
satisfaz a equação diferencial
y''+y - x = 0
O conteúdo usado será diferenciação de séries de potências termo a termo e reindexação para reconhecer a soma original.

Passo 2

Vamos calcular y' diferenciando termo a termo. Para
y(x)=x+sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!,
temos
y'(x)=1+sumn=1^infty(-1)^n2n,x^2n-1(2n)!
Note que o termo n=0 da soma é constante ( x^0/0!=1), por isso só aparece no “1”.

Passo 3

Agora derivamos de novo para obter y''.
y''(x) =sumn=1^infty(-1)^n2n(2n-1),x^2n-2(2n)!
Como
2n(2n-1)(2n)! =1(2n-2)!,
segue
y''(x) =sumn=1^infty(-1)^nx^2n-2(2n-2)!

Passo 4

Reindexando na soma de y'' usando m=n-1, temos n=m+1 e quando n=1 então m=0. Assim
y''(x) =summ=0^infty(-1)^m+1x^2m(2m)! =-summ=0^infty(-1)^mx^2m(2m)!

Passo 5

Observe que
y(x)=x+summ=0^infty(-1)^mx^2m(2m)!
Logo, somando y''+y cancelam-se as somas em série:
y''(x)+y(x) =-summ=0^infty(-1)^mx^2m(2m)! ;+;x+summ=0^infty(-1)^mx^2m(2m)! = x

Passo 6

Então
y''(x)+y(x)-x = x - x = 0,
o que mostra que y satisfaz a equação dada.

Resposta

A função
y(x)=x+sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!
é solução de
y''+y - x = 0

Exercícios relacionados