O conteúdo principal é série de potências e o Teorema de Taylor (ou prova via equação diferencial). Vamos usar o critério da razão para garantir convergência em todo e depois mostrar que a soma satisfaz a mesma equação diferencial de .
Passo 2
Considere a sequência de termos . Aplicando o teste da razão, examinamos
Como o limite é 0, a série sumn=0^inftyan converge para todo xinR. Logo, podemos definir
S(x)=sumn=0^inftyx^nn!,,
uma função bem definida em R.
Passo 3
Vamos diferenciar termo a termo. Para cada x, a série de derivadas