Mostre que para todo x real. e^x=sumn=0^infty x^nn !=1+x+x^22 !+x^33 !+x^44 !+x^55 !+cdots+x^nn !+cdots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo xinR,
e^x=sumn=0^inftyx^nn!,
O conteúdo principal é série de potências e o Teorema de Taylor (ou prova via equação diferencial). Vamos usar o critério da razão para garantir convergência em todo R e depois mostrar que a soma satisfaz a mesma equação diferencial de e^x.

Passo 2

Considere a sequência de termos
an=x^nn!. Aplicando o teste da razão, examinamos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x^n+1/(n+1)!x^n/n!| =limntoinfty|x|n+1 =0<1
Como o limite é 0, a série sumn=0^inftyan converge para todo xinR. Logo, podemos definir
S(x)=sumn=0^inftyx^nn!,,
uma função bem definida em R.

Passo 3

Vamos diferenciar termo a termo. Para cada x, a série de derivadas
sumn=1^inftyn,x^n-1n! =sumn=1^inftyx^n-1(n-1)!
também converge (mesmo teste da razão). Portanto
S'(x) =sumn=1^inftyx^n-1(n-1)! =sumk=0^inftyx^kk! =S(x)

Passo 4

Observe ainda que
S(0)=sumn=0^infty0^nn! =1
Portanto S(x) satisfaz o problema de valor inicial
S'(x)=S(x), S(0)=1
Sabe-se que a única solução dessa equação diferencial é S(x)=e^x.

Resposta

e^x=sumn=0^inftyx^nn!forall xinR

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