Dada a função
. a) Encontre a serie de Taylor de
em
, b) O intervalo de convergência da serie de Taylor no item (a). c) Mostre que a serie de Taylor no item (a) representa
no seu intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
em torno de
, depois o intervalo de convergência dessa série e, por fim, mostrar que a série representa de fato
nesse intervalo. Para isso vamos usar a definição
e o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange.
Passo 2
Calculemos as derivadas até a ordem 4 e avalie em
:
Em
temos
Logo a série de Taylor em torno de
é
Passo 3
Como a expansão parou em
(fifth derivative is zero), trata-se de um polinômio. Polinômios têm raio de convergência infinito, portanto o intervalo de convergência é
Passo 4
Para ver que a série representa
, note que o resto de ordem
em Lagrange é
para algum
entre
e
. Mas
, logo
em todo
. Assim a soma da série coincide exatamente com
em todo o intervalo de convergência.
Resposta
a)
b)
c) O resto de Taylor é zero porque
, logo a série coincide com
para todo
.