Dada a função f(x)=3 x^4-x^2-2 x. a) Encontre a serie de Taylor de f em a=-2, b) O intervalo de convergência da serie de Taylor no item (a). c) Mostre que a serie de Taylor no item (a) representa f no seu intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(x)=3x^4 - x^2 - 2x
em torno de a=-2, depois o intervalo de convergência dessa série e, por fim, mostrar que a série representa de fato f nesse intervalo. Para isso vamos usar a definição
f(x)=sumn=0^infty f^(n)(a)n!(x-a)^n
e o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange.

Passo 2

Calculemos as derivadas até a ordem 4 e avalie em x=-2:
f(x)&=3x^4 - x^2 -2x, f'(x)&=12x^3 -2x -2, f''(x)&=36x^2 -2, f'''(x)&=72x, f^(4)(x)&=72, f^(5)(x)&=0
Em x=-2 temos
f(-2)&=48, f'(-2)&=-94, f''(-2)&=142, f'''(-2)&=-144, f^(4)(-2)&=72
Logo a série de Taylor em torno de -2 é
f(x)&=sumn=0^4 f^(n)(-2)n!(x+2)^n &=48 -94,(x+2) + 1422!(x+2)^2 + -1443!(x+2)^3 + 724!(x+2)^4 &=48 -94(x+2) +71(x+2)^2 -24(x+2)^3 +3(x+2)^4

Passo 3

Como a expansão parou em n=4 (fifth derivative is zero), trata-se de um polinômio. Polinômios têm raio de convergência infinito, portanto o intervalo de convergência é
(-infty,infty)

Passo 4

Para ver que a série representa f, note que o resto de ordem 4 em Lagrange é
R4(x)=f^(5)(xi)5!(x+2)^5
para algum xi entre x e -2. Mas f^(5)equiv0, logo R4(x)=0 em todo x. Assim a soma da série coincide exatamente com f(x) em todo o intervalo de convergência.

Resposta

a)
f(x)=48 -94(x+2) +71(x+2)^2 -24(x+2)^3 +3(x+2)^4
b)
(-infty,infty)
c) O resto de Taylor é zero porque f^(5)(x)=0, logo a série coincide com f(x) para todo x.

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