Calcule integral d xx raiz3+(ln x)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa ser resolvida. O enunciado é:
integral dxx raiz3 + (ln x)^2
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral que envolve logaritmos e funções de raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão e facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o logaritmo natural de x de t . Então:
t = ln x
Agora, precisamos expressar dx em termos de dt . Derivando ambos os lados em relação a x :
dtdx = 1x Rightarrow dx = x , dt

Passo 3

Agora, vamos substituir t e dx na integral original:
integral dxx raiz3 + (ln x)^2 = integral x , dtx raiz3 + t^2 = integral dtraiz3 + t^2
A expressão ficou mais simples: agora temos uma integral de dtraiz3 + t^2 , que é uma integral padrão.

Passo 4

Sabemos que:
integral dtraiza^2 + t^2 = ln | t + raizt^2 + a^2 | + C
No nosso caso, a^2 = 3 , então a = raiz3 . Aplicando isso na nossa integral:
integral dtraiz3 + t^2 = ln | t + raizt^2 + 3 | + C

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original x . Lembrando que t = ln x , substituímos de volta:
ln | ln x + raiz(ln x)^2 + 3 | + C

Resposta

A integral resolve-se como:
ln ( ln x + raiz (ln x)^2 + 3 ) + C
onde C é a constante de integração.

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