Resolva a Equação Diferencial:
x^2 y^prime prime-x y^prime-3 y=e^x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler–Cauchy não–homogênea
x^2y'' - x,y' - 3y ;=; e^x + 1
O conteúdo é:
  • Resolver primeiro a equação de Euler homogênea associada.
  • Depois usar método de variação de parâmetros para encontrar uma particular.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
x^2y'' - x,y' - 3y = 0,
fazemos o ansatz y=x^m. Substituindo,
m(m-1) - m - 3 = 0 ;Longrightarrow; m^2 - 2m -3 = 0 ;Longrightarrow; m=3,;-1
Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1,x^3 + C2,x^-1

Passo 3

Passamos à forma padrão
y'' - 1xy' - 3x^2y = e^x+1x^2
Chamamos
f(x) = e^x+1x^2, y1(x)=x^3, y2(x)=x^-1
O wronskiano é
W = x^3 & x^-1 3x^2 & -x^-2 = -4x

Passo 4

Aplicando variação de parâmetros, a particular vale
yp = -y1integral y2,fW,dx ;+; y2integral y1,fW,dx
Calculamos
y2,fW = x^-1,(e^x+1)/x^2-4x = -e^x+14,x^4, y1,fW = x^3,(e^x+1)/x^2-4x = -e^x+14
Assim,
integral y2,fW,dx = -14integral e^x+1x^4,dx, integral y1,fW,dx = -14integral (e^x+1),dx = -e^x+x4
Logo
yp = -,x^3l[-tfrac14!integraltfrace^x+1x^4dxr] ;+; x^-1l[-tfrace^x+x4r] = x^34integrale^x+1x^4,dx ;-;e^x+x4x

Passo 5

Podemos simplificar separando a integral:
integrale^x+1x^4,dx = integrale^xx^4,dx ;+;integral x^-4,dx = integrale^xx^4,dx ;-;13x^3,
de onde
x^34l(-tfrac13x^3r) = -112,
que pode ser absorvido em C1,C2. Mantendo só a parte essencial da integral de e^x/x^4, obtemos
yp(x) = x^34integrale^xx^4,dx ;-;e^x+x4x

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C1,x^3 + C2,x^-1 ;+; x^34integral e^xx^4,dx ;-;e^x+x4x

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