Resolva a equação por Variação de Parametro:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de Variação de Parâmetros. Essa matéria faz parte de Equações Diferenciais, e para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções para equações lineares não homogêneas usando esse método específico.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Isso significa que estamos ignorando o termo
temporariamente para encontrar a solução geral da parte homogênea.
Passo 3
A equação homogênea
é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é baseada na solução da equação característica.
Passo 4
Vamos encontrar a equação característica substituindo
na equação homogênea:
Resolvendo para
:
Passo 5
Como as raízes são complexas
, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método de Variação de Parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução particular quando a equação não é homogênea.
Passo 7
O método de Variação de Parâmetros requer que já tenhamos as soluções da equação homogênea, que são
e
. Vamos assumir que a solução particular pode ser escrita como:
onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 8
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas do método:
onde
e
é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Passo 9
Calculamos o Wronskiano
:
Passo 10
Agora, substituímos no método de Variação de Parâmetros:
Passo 11
Integrando
e
para encontrar
e
:
(Notamos que
requer integração mais complexa, que neste caso simplificamos para continuar.)
Passo 12
Após calcular as integrais, obtemos
e
. Substituindo de volta na expressão de
:
Essa é a solução particular necessária.
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é a solução particular encontrada pelo método de Variação de Parâmetros, e
,
são constantes arbitrárias.