Seja
uma função dada implicitarnente pela equação
. Deternine a derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos deu uma equação onde
é uma função de
, ou seja,
. A equação é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de
em relação a
, representada por
. Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é ótima quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, como
é uma função de
, toda vez que derivarmos
com relação a
, precisamos aplicar a regra da cadeia. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo da equação original com relação a
:
Começamos derivando o lado esquerdo:
-
Derivada de
:
Usando a regra da cadeia, a derivada deé . -
Derivada de
:
Aqui temos um produto de duas funções de: e . Vamos usar a regra do produto:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Assim, a derivada de
fica:
Agora, derivamos o lado direito:
- Derivada de
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, juntamos todas as derivadas que encontramos:
Passo 5
Vamos isolar os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Passo 6
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados pelo coeficiente que está multiplicando
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: