Seja y=y(x) uma função dada implicitarnente pela equação y^3+x^2 y^4=cos (y^5). Deternine a derivada de y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos deu uma equação onde y é uma função de x , ou seja, y = y(x) . A equação é y^3 + x^2 y^4 = cos(y^5) . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de y em relação a x , representada por dydx . Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é ótima quando y está misturado com x na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, como y é uma função de x , toda vez que derivarmos y com relação a x , precisamos aplicar a regra da cadeia. Isso significa que ddx(y) = dydx .

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da equação original com relação a x :
y^3 + x^2 y^4 = cos(y^5)
Começamos derivando o lado esquerdo:
  • Derivada de y^3 :
    Usando a regra da cadeia, a derivada de y^3 é 3y^2 cdot dydx .
  • Derivada de x^2 y^4 :
    Aqui temos um produto de duas funções de x : x^2 e y^4 . Vamos usar a regra do produto:
ddx(x^2 y^4) = x^2 cdot ddx(y^4) + y^4 cdot ddx(x^2)
  • Derivada de y^4 é 4y^3 cdot dydx .
  • Derivada de x^2 é 2x .
Assim, a derivada de x^2 y^4 fica:
x^2 (4y^3 cdot dydx) + y^4 (2x) = 4x^2 y^3 cdot dydx + 2x y^4
Agora, derivamos o lado direito:
  • Derivada de cos(y^5) :
    Aplicando a regra da cadeia:
ddx(cos(y^5)) = -sin(y^5) cdot ddx(y^5) = -sin(y^5) cdot 5y^4 cdot dydx

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas que encontramos:
3y^2 cdot dydx + 4x^2 y^3 cdot dydx + 2x y^4 = -5y^4 sin(y^5) cdot dydx

Passo 5

Vamos isolar os termos que contêm dydx de um lado e os demais termos do outro:
(3y^2 + 4x^2 y^3 + 5y^4 sin(y^5)) cdot dydx = -2x y^4

Passo 6

Agora, resolvemos para dydx dividindo ambos os lados pelo coeficiente que está multiplicando dydx :
dydx = -2x y^43y^2 + 4x^2 y^3 + 5y^4 sin(y^5)

Resposta

A derivada de y em relação a x é:
dydx = -2x y^43y^2 + 4x^2 y^3 + 5y^4 sin(y^5)

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