Calcule
lim x longmapsto-pi2 tan (x)

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos calcular
limxto -pi2tan(x).
O conteúdo aqui é limite de função trigonométrica em ponto de descontinuidade (assíntota vertical). Para resolver, vamos usar a identidade
tan(x)=sin(x)cos(x)
e analisar o comportamento de sin(x) e cos(x) perto de x=-pi2.

Passo 2

Observamos que em x=-pi2 vale
sinl(-tfracpi2r)=-1
e
cosl(-tfracpi2r)=0.
Como o denominador tende a zero, o quociente pode divergir. O sinal final de tan(x) depende do sinal de cos(x) ao nos aproximarmos de -pi2 pela esquerda e pela direita.

Passo 3

Para xto -pi2^- (aproximação pela esquerda), temos
sin(x)approx -1 (negativo)
e
cos(x)<0.
Logo,
limxto -pi2^-tan(x) =limxto -pi2^-sin(x)cos(x) =-10^- =+infty

Passo 4

Para xto -pi2^+ (aproximação pela direita), sin(x)approx -1 continua negativo, mas agora cos(x)>0. Portanto,
limxto -pi2^+tan(x) =-10^+ =-infty

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( +infty e -infty), não há limite finito quando xto -pi2.

Resposta

O limite não existe (diverge), pois
limxto -pi2^-tan(x)=+infty
e
limxto -pi2^+tan(x)=-infty.

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