Verifique que a expressão dada é uma solução implícita da equação diferencial ordinária abaixo e encontre pelo menos uma solução explícita utilizando essa expressão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) meio complicada:
E uma expressão que supostamente resolve essa equação:
Nosso objetivo é primeiro confirmar que essa expressão realmente é uma solução implícita da EDO e depois, se der, achar uma forma explícita dessa solução, ou seja, escrever
em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma solução implícita. Basicamente, é uma relação entre
e
que satisfaz a equação diferencial, mas não está resolvida para
. No caso,
é essa relação.
Passo 3
Para verificar se essa expressão é uma solução da EDO, precisamos substituir
e
na EDO. Mas antes, vamos derivar a expressão implícita para encontrar
.
Derivando ambos os lados de
em relação a
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Rearranjando:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a derivada
da expressão implícita é:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na equação diferencial original:
Simplificando:
Ou seja,
, que é verdade! Isso confirma que a expressão
é realmente uma solução implícita da EDO dada.
Passo 5
Agora, vamos tentar encontrar uma solução explícita, ou seja, expressar
em função de
. Temos a equação:
Vamos reorganizar para resolver
:
Isso é uma equação quadrática em
. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
A solução explícita da equação diferencial é: