Verifique que a expressão dada é uma solução implícita da equação diferencial ordinária abaixo e encontre pelo menos uma solução explícita utilizando essa expressão.
2 x y+(x^2-y) y^prime=0 ;-2 x^2 y+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) meio complicada:
2xy + (x^2 - y)y' = 0
E uma expressão que supostamente resolve essa equação:
-2x^2y + y^2 = 1
Nosso objetivo é primeiro confirmar que essa expressão realmente é uma solução implícita da EDO e depois, se der, achar uma forma explícita dessa solução, ou seja, escrever y em função de x .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução implícita. Basicamente, é uma relação entre x e y que satisfaz a equação diferencial, mas não está resolvida para y . No caso, -2x^2y + y^2 = 1 é essa relação.

Passo 3

Para verificar se essa expressão é uma solução da EDO, precisamos substituir y e y' na EDO. Mas antes, vamos derivar a expressão implícita para encontrar y' .
Derivando ambos os lados de -2x^2y + y^2 = 1 em relação a x :
ddx(-2x^2y) + ddx(y^2) = ddx(1)
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
-2(2xy + x^2y') + 2yy' = 0
Simplificando:
-4xy - 2x^2y' + 2yy' = 0
Rearranjando:
(-2x^2 + 2y)y' = 4xy
Dividindo ambos os lados por -2x^2 + 2y:
y' = 4xy-2x^2 + 2y = -4xy2x^2 - 2y = -2xyx^2 - y
Então, a derivada y' da expressão implícita é:
y' = -2xyx^2 - y

Passo 4

Agora, vamos substituir y' na equação diferencial original:
2xy + (x^2 - y)(-2xyx^2 - y) = 0
Simplificando:
2xy - 2xy = 0
Ou seja, 0 = 0 , que é verdade! Isso confirma que a expressão -2x^2y + y^2 = 1 é realmente uma solução implícita da EDO dada.

Passo 5

Agora, vamos tentar encontrar uma solução explícita, ou seja, expressar y em função de x . Temos a equação:
-2x^2y + y^2 = 1
Vamos reorganizar para resolver y :
y^2 - 2x^2y - 1 = 0
Isso é uma equação quadrática em y . Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
y = 2x^2 pm raiz(2x^2)^2 + 42 = 2x^2 pm raiz4x^4 + 42 = x^2 pm raizx^4 + 1

Resposta

A solução explícita da equação diferencial é:
y = x^2 pm raizx^4 + 1

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