Se
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
onde
e
são funções de
e
:
e
. A gente precisa encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Vamos usar regras de derivação e a regra da cadeia para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que dependem de
. Sabemos que
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
. Para achar
, vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
, e aí aplicamos a regra da cadeia multiplicando pela derivada interna
.
Passo 4
Agora, a derivada de
em relação a
:
De forma similar, aplicamos a derivada de
em relação a
e multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 5
Vamos agora derivar
e
em relação a
:
Para
:
Porque estamos derivando em relação a
e
é tratado como uma constante.
Para
:
Aqui, usamos a derivada de
que é
, multiplicando pelo coeficiente
.
Passo 6
Agora, vamos substituir tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
Então, a derivada parcial de
em relação a
é: