Se z=ln (3 x+2 y), com x=u sen(v), y=v cos (u), calcule partial zpartial u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função z = ln (3x + 2y) onde x e y são funções de u e v : x = u , sin(v) e y = v cos(u) . A gente precisa encontrar a derivada parcial de z em relação a u , ou seja, partial zpartial u . Vamos usar regras de derivação e a regra da cadeia para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que dependem de u . Sabemos que z depende de x e y , que por sua vez dependem de u e v . Para achar partial zpartial u , vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente. Primeiro, a derivada de z em relação a x :
partial zpartial x = 13x + 2y cdot 3
Isso porque a derivada de ln(a) em relação a a é 1a , e aí aplicamos a regra da cadeia multiplicando pela derivada interna ddx(3x + 2y) = 3 .

Passo 4

Agora, a derivada de z em relação a y :
partial zpartial y = 13x + 2y cdot 2
De forma similar, aplicamos a derivada de ln(a) em relação a a e multiplicamos pela derivada interna ddy(3x + 2y) = 2 .

Passo 5

Vamos agora derivar x e y em relação a u :
Para x = u sin(v) :
partial xpartial u = sin(v)
Porque estamos derivando em relação a u e sin(v) é tratado como uma constante.
Para y = v cos(u) :
partial ypartial u = -v sin(u)
Aqui, usamos a derivada de cos(u) que é -sin(u) , multiplicando pelo coeficiente v .

Passo 6

Agora, vamos substituir tudo na fórmula da regra da cadeia:
partial zpartial u = ( 33x + 2y ) cdot sin(v) + ( 23x + 2y ) cdot (-v sin(u))

Passo 7

Podemos fatorar 13x + 2y para simplificar:
partial zpartial u = 13x + 2y ( 3 sin(v) - 2v sin(u) )

Resposta

Então, a derivada parcial de z em relação a u é:
boxed partial zpartial u = 3 sin(v) - 2v sin(u)3x + 2y

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