Determine se a série sumn=1^infty n^2n^4+1 é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa descobrir se a série sumn=1^infty n^2n^4+1 converge ou diverge. Esse tipo de problema está dentro do estudo das séries infinitas, especificamente usando testes de convergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação, que é uma técnica para comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando n fica bem grande (ou seja, tendendo ao infinito). Observamos que o termo principal no denominador é n^4, então podemos simplificar a expressão para entender melhor:
n^2n^4 + 1 approx n^2n^4 = 1n^2
Isso significa que, para valores grandes de n, o termo da nossa série se comporta parecido com 1n^2.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p = 2. Sabemos que séries p convergem quando p > 1. Portanto, sumn=1^infty 1n^2 é uma série convergente.

Passo 4

Como nossos termos n^2n^4 + 1 são menores ou iguais a 1n^2 para todo n >= 1 (porque n^4 + 1 >= n^4), podemos usar o Teste da Comparação Direta. Esse teste diz que se 0 <= an <= bn para todo n a partir de algum índice, e sum bn converge, então sum an também converge.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso:
0 <= n^2n^4 + 1 <= n^2n^4 = 1n^2
Como sum 1n^2 converge e n^2n^4 + 1 <= 1n^2 para todo n >= 1, concluímos que a nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^2n^4+1 converge.

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