Determine se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Esse tipo de problema está dentro do estudo das séries infinitas, especificamente usando testes de convergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação, que é uma técnica para comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando
fica bem grande (ou seja, tendendo ao infinito). Observamos que o termo principal no denominador é
, então podemos simplificar a expressão para entender melhor:
Isso significa que, para valores grandes de
, o termo da nossa série se comporta parecido com
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a série
é uma série p com
. Sabemos que séries p convergem quando
. Portanto,
é uma série convergente.
Passo 4
Como nossos termos
são menores ou iguais a
para todo
(porque
), podemos usar o Teste da Comparação Direta. Esse teste diz que se
para todo
a partir de algum índice, e
converge, então
também converge.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso:
Como
converge e
para todo
, concluímos que a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.