Escreva os polinômios a seguir na forma fatorada.
8 a^2 b^2-4 a b+12 a^3 b^3

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
8a^2b^2-4ab+12a^3b^3
e pede para escrevê-lo em forma fatorada. Vamos usar dois conteúdos principais: extração de fator comum e fatoração de um trinômio quadrático (em t=ab).

Passo 2

Observamos que cada termo tem o monômio 4ab como fator comum, pois
  • 8a^2b^2 = 4abcdot(2ab),
  • -4ab = 4abcdot(-1),
  • 12a^3b^3 = 4abcdot(3a^2b^2).
    Logo, extraindo 4ab, obtemos
8a^2b^2-4ab+12a^3b^3 =4abl(2ab -1 +3a^2b^2r)

Passo 3

Dentro do parêntese vemos o trinômio em t=ab:
3a^2b^2 + 2ab -1 =3t^2 + 2t -1
Para fatorar 3t^2+2t-1 procuramos dois números cujo produto seja 3cdot(-1)=-3 e soma seja 2. Esses números são 3 e -1, pois 3+(-1)=2 e 3cdot(-1)=-3. Assim,
3t^2+2t-1 = (3t -1)(t+1)
Voltando a t=ab, temos
3a^2b^2 + 2ab -1 = (3ab -1)(ab +1)

Passo 4

Substituindo de volta na expressão com o fator comum, concluímos a forma fatorada completa:
8a^2b^2-4ab+12a^3b^3 =4ab,(3ab -1)(ab +1)

Resposta

4ab,(3ab -1)(ab +1)

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