Calcule:
(3-3 i)^-12

Passo 1

O enunciado pede calcular (3-3i)^-12. Vamos usar a forma polar de um número complexo e o teorema de De Moivre.

Passo 2

Calcular o módulo e o argumento de 3-3i. O módulo é
r = |3-3i| = raiz3^2 + (-3)^2 = 3raiz2,
e o argumento principal theta satisfaz
tantheta = -33 = -1,
como o ponto está no quarto quadrante, theta = -pi4.

Passo 3

Escrever
3-3i = r,e^itheta = 3raiz2,e^-ipi/4

Passo 4

Aplicar a exponenciação:
(3-3i)^-12 =(r,e^itheta)^-12 =r^-12,e^itheta(-12)
Aqui,
r^-12 = (3raiz2)^-12 =3^-12cdot(raiz2)^-12 =3^-12,2^-6 =13^122^6,
e
theta(-12)=l(-pi4r)(-12)=3pi,
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e^i,3pi=cos(3pi)+isin(3pi)=-1

Passo 5

Juntando tudo,
(3-3i)^-12 =13^122^6times(-1) =-13^122^6 =-164cdot 3^12

Resposta

-164cdot 3^12

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