Seja a parte do plano interior ao paraboloide , orientada de modo que . Seja . O valor da integral é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular a integral de superfície da rotação (ou rotacional) de um campo vetorial sobre uma parte do plano que está dentro do paraboloide . A superfície está orientada de modo que o vetor normal tem componente positiva na direção z. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha ao longo da borda da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva de fronteira da superfície . A superfície é a parte do plano que está dentro do paraboloide . Então, para achar a curva de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar a curva de interseção.
Passo 3
Rearranjando a equação :
Completando o quadrado para a variável :
Isso nos mostra que a curva de interseção é um círculo de raio 1, centrado no ponto no plano .
Passo 4
Agora, vamos parametrizar essa curva [\partial S). Como é um círculo de raio 1 centrado em (já que e ):
onde (0 \leq \theta < 2\pi].
Passo 5
De acordo com o Teorema de Stokes:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr
Então, em vez de calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao longo da curva partial S.
Passo 6
Vamos calcular F cdot dr. Primeiro, expressamos F na parametrização da curva:
F = (z, z - y, yx^2 + y^3) = (2(1 + sin theta), 2(1 + sin theta) - (1 + sin theta), (1 + sin theta)cos^2theta + (1 + sin theta)^3)
Simplificando:
F = (2 + 2sin theta, 1 + sin theta, (1 + sin theta)cos^2theta + (1 + sin theta)^3)
Passo 7
Calculamos dr, que é a derivada da parametrização em relação a theta:
dr = (-sin theta, cos theta, 2cos theta) dtheta
Passo 8
Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (2 + 2sin theta)(-sin theta) + (1 + sin theta)(cos theta) + ((1 + sin theta)cos^2theta + (1 + sin theta)^3)(2cos theta)
Simplificando cada termo:
= -2sin theta - 2sin^2 theta + cos theta + sin theta cos theta + 2(1 + sin theta)cos^3 theta + 2(1 + sin theta)^3cos theta
Passo 9
Integramos F cdot dr de theta = 0 a theta = 2pi:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi [-2sin theta - 2sin^2 theta + cos theta + sin theta cos theta + 2(1 + sin theta)cos^3 theta + 2(1 + sin theta)^3cos theta ] dtheta
Observando que integrais de sin theta, cos theta, sin^2 theta, etc., ao longo de 0 a 2pi podem ser calculadas usando fórmulas de integrais trigonométricas básicas.
Passo 10
Após calcular as integrais individuais, somamos os resultados. Muitas das integrais de funções ímpares sobre o intervalo completo 0 a 2pi anulam, simplificando o cálculo. Finalmente, obtemos o valor da integral.
Resposta
O valor da integral integral duplaS(rot F cdot n) d S é 0.