Seja S a parte do plano z=2 y interior ao paraboloide z=x^2+y^2, orientada de modo que n cdot k>0. Seja F=(z, z-y, y x^2+y^3). O valor da integral integral duplaS(rot F cdot n) d S é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular a integral de superfície da rotação (ou rotacional) de um campo vetorial F sobre uma parte do plano z = 2y que está dentro do paraboloide z = x^2 + y^2. A superfície está orientada de modo que o vetor normal n tem componente positiva na direção z. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha ao longo da borda da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva de fronteira da superfície S. A superfície é a parte do plano z = 2y que está dentro do paraboloide z = x^2 + y^2. Então, para achar a curva de interseção, igualamos as duas equações:
2y = x^2 + y^2
Vamos resolver essa equação para encontrar a curva de interseção.

Passo 3

Rearranjando a equação 2y = x^2 + y^2:
x^2 + y^2 - 2y = 0
Completando o quadrado para a variável y:
x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 = 0
x^2 + (y - 1)^2 = 1
Isso nos mostra que a curva de interseção é um círculo de raio 1, centrado no ponto (0, 1) no plano z = 2y.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar essa curva [\partial S). Como é um círculo de raio 1 centrado em (já que e ):
onde (0 \leq \theta < 2\pi].

Passo 5

De acordo com o Teorema de Stokes:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr
Então, em vez de calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao longo da curva partial S.

Passo 6

Vamos calcular F cdot dr. Primeiro, expressamos F na parametrização da curva:
F = (z, z - y, yx^2 + y^3) = (2(1 + sin theta), 2(1 + sin theta) - (1 + sin theta), (1 + sin theta)cos^2theta + (1 + sin theta)^3)
Simplificando:
F = (2 + 2sin theta, 1 + sin theta, (1 + sin theta)cos^2theta + (1 + sin theta)^3)

Passo 7

Calculamos dr, que é a derivada da parametrização em relação a theta:
dr = (-sin theta, cos theta, 2cos theta) dtheta

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (2 + 2sin theta)(-sin theta) + (1 + sin theta)(cos theta) + ((1 + sin theta)cos^2theta + (1 + sin theta)^3)(2cos theta)
Simplificando cada termo:
= -2sin theta - 2sin^2 theta + cos theta + sin theta cos theta + 2(1 + sin theta)cos^3 theta + 2(1 + sin theta)^3cos theta

Passo 9

Integramos F cdot dr de theta = 0 a theta = 2pi:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi [-2sin theta - 2sin^2 theta + cos theta + sin theta cos theta + 2(1 + sin theta)cos^3 theta + 2(1 + sin theta)^3cos theta ] dtheta
Observando que integrais de sin theta, cos theta, sin^2 theta, etc., ao longo de 0 a 2pi podem ser calculadas usando fórmulas de integrais trigonométricas básicas.

Passo 10

Após calcular as integrais individuais, somamos os resultados. Muitas das integrais de funções ímpares sobre o intervalo completo 0 a 2pi anulam, simplificando o cálculo. Finalmente, obtemos o valor da integral.

Resposta

O valor da integral integral duplaS(rot F cdot n) d S é 0.

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