Dados os números na forma trigonométrica: z1=4[cos (120^circ)+i sen(120^circ)] e z2=2[cos (30^circ)+i sen(30^circ)], pede-se obter na forma algébrica:
z1^3

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z1=4l[cosl(120^circr)+isenl(120^circr)r]
e pede para calcular z1^3 na forma algébrica. O conteúdo aqui é o Teorema de De Moivre, que permite elevar números em forma trigonométrica a potências inteiras.

Passo 2

Aplicando o Teorema de De Moivre, temos
z1^3 = l(r[costheta + isentheta]r)^3 = r^3l[cos(3theta)+isen(3theta)r]
No nosso caso, r=4 e theta=120^circ, logo
z1^3 = 4^3l[cos(3cdot120^circ) + isen(3cdot120^circ)r]

Passo 3

Calculemos as quantidades:
4^3 = 64, 3cdot120^circ = 360^circ,
portanto
z1^3 = 64l[cos(360^circ) + isen(360^circ)r]

Passo 4

Sabendo que cos(360^circ)=1 e sen(360^circ)=0, obtemos
z1^3 = 64l[1 + icdot 0r] = 64

Resposta

z1^3 = 64

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