Dados os números na forma trigonométrica: z1=4[cos (120^circ)+i sen(120^circ)] e z2=2[cos (30^circ)+i sen(30^circ)], pede-se obter na forma algébrica:
z2^5

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z2 = 2l[cosl(30^circr) + isinl(30^circr)r]
e pede z2^5. O conteúdo aqui é a multiplicação de números complexos em forma trigonométrica, que resolve-se aplicando-se a fórmula de De Moivre:
l[r(costheta + isintheta)r]^n = r^nl[cos(ntheta) + isin(ntheta)r]

Passo 2

Aplicando De Moivre a z2^5, temos
z2^5 = l(2r)^5l[cosl(5 times 30^circr) + isinl(5 times 30^circr)r]

Passo 3

Calculemos o módulo e o argumento:
2^5 = 32, 5 times 30^circ = 150^circ
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z2^5 = 32l[cos(150^circ) + isin(150^circ)r]

Passo 4

Usando os valores
cos(150^circ) = -raiz32, sin(150^circ) = 12,
obtemos
z2^5 = 32l(-raiz32r) + i,32l(12r) = -16raiz3 + 16,i

Resposta

z2^5 = -16raiz3 + 16,i

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