Calcule lim x 0 raiz[2]x+1-1raiz[5]x+1-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx 0 raizx+1-1raiz[5]x+1-1. Esse exercício está relacionado a limites e funções com radicais. Para resolver, vamos usar uma aproximação para funções do tipo (1 + x)^k quando x está próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para valores pequenos de x, podemos aproximar (1 + x)^k pela fórmula: (1 + x)^k approx 1 + kx. Isso ajuda a simplificar expressões com radicais.

Passo 3

Aplicando essa aproximação no numerador: raizx+1 = (1 + x)^1/2 approx 1 + 12x. Então, raizx+1 - 1 approx 12x.

Passo 4

Agora, no denominador: raiz[5]x+1 = (1 + x)^1/5 approx 1 + 15x. Então, raiz[5]x+1 - 1 approx 15x.

Passo 5

Substituindo essas aproximações no limite original, temos:
limx 0 12x15x

Passo 6

Os termos x se cancelam, ficando:
1215 = 12 times 51 = 52

Resposta

O limite é 52.

Exercícios relacionados