Resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me mandou. Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO), que basicamente relaciona uma função desconhecida $ y $ com suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
y' = xy e^x
Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Nosso objetivo é encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa equação.

Passo 3

Vamos começar separando as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por $ y $:
y
Agora, percebemos que o lado esquerdo da equação pode ser reescrito como $ \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(y^2) $. Isso porque:
x
Então, temos:
y

Passo 4

Agora, multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
ddx(y^2) = 2x e^x
Em seguida, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso simplifica para:
integral ddx(y^2) , dx = integral 2x e^x , dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver a integral à direita:
integral 2x e^x , dx
Essa é uma integral de integração por partes, onde escolhemos:
  • $ u = 2x $ ⇒ $ du = 2 , dx $
  • $ dv = e^{x} , dx $ ⇒ $ v = e^{x} $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
u = 2x

Passo 6

Voltando à equação anterior:
y^2 = 2x e^x - 2 e^x + C
Podemos fatorar $ 2 e^{x} $:
2 e^x

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = \sqrt{2} $ para encontrar a constante $ C $. Substituímos $ x = 1 $ e $ y = \sqrt{2} $ na equação:
y(1) = raiz2
Simplificando:
C

Passo 8

Agora que temos o valor de $ C $, substituímos de volta na equação:
C
Podemos fatorar novamente:
y^2 = 2 e^x(x - 1) + 2

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para $ y $:
y

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y = raiz2 ( e^x(x - 1) + 1 )

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