Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me mandou. Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO), que basicamente relaciona uma função desconhecida $ y $ com suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Nosso objetivo é encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa equação.
Passo 3
Vamos começar separando as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por $ y $:
Agora, percebemos que o lado esquerdo da equação pode ser reescrito como $ \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(y^2) $. Isso porque:
Então, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Em seguida, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Isso simplifica para:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver a integral à direita:
Essa é uma integral de integração por partes, onde escolhemos:
- $ u = 2x $ ⇒ $ du = 2 , dx $
- $ dv = e^{x} , dx $ ⇒ $ v = e^{x} $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Passo 6
Voltando à equação anterior:
Podemos fatorar $ 2 e^{x} $:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = \sqrt{2} $ para encontrar a constante $ C $. Substituímos $ x = 1 $ e $ y = \sqrt{2} $ na equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos o valor de $ C $, substituímos de volta na equação:
Podemos fatorar novamente:
Passo 9
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para $ y $:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: