A quantidade Q de ratos em uma determinada região decai no tempo (medido em meses) dc acordo com a equação
d Qd t=-0,14 Q
Determine o tempo necessário para que esta população reduza-se à metade. (use que ln 2 approx 0,7 ).

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de decaimento exponencial
dQdt = -0,14,Q
e pede o tempo t1/2 em que a população cai para metade do valor inicial Q0. O conteúdo aqui é equação diferencial separável e propriedade de logaritmos para encontrar a meia-vida.

Passo 2

Separemos variáveis para integrar. Escrevemos
dQdt = -0,14,Q Longrightarrow dQQ = -0,14,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dQQ = integral -0,14,dt
que resulta em
ln|Q| = -0,14,t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponentiando ambos os lados, obtemos a solução geral
Q(t) = e^C , e^-0,14,t
Definindo Q0 = e^C como a população inicial em t=0, fica
Q(t) = Q0,e^-0,14,t

Passo 5

Para achar o tempo de meia-vida, impomos Q(t1/2) = tfracQ02. Assim,
Q02 = Q0,e^-0,14,t1/2 Longrightarrow 12 = e^-0,14,t1/2

Passo 6

Aplicamos o logaritmo natural e isolamos t1/2:
lnl(tfrac12r) = -0,14,t1/2 Longrightarrow t1/2 = -ln(tfrac12)0,14
Como ln(tfrac12)=-ln2, temos
t1/2 = ln20,14

Passo 7

Usando ln2approx0,7,
t1/2 approx 0,70,14 = 5

Resposta

O tempo necessário para a população reduzir-se à metade é de aproximadamente 5 meses.

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