A quantidade
de ratos em uma determinada região decai no tempo (medido em meses) dc acordo com a equação
Determine o tempo necessário para que esta população reduza-se à metade. (use que
).
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial de decaimento exponencial
e pede o tempo
em que a população cai para metade do valor inicial
. O conteúdo aqui é equação diferencial separável e propriedade de logaritmos para encontrar a meia-vida.
Passo 2
Separemos variáveis para integrar. Escrevemos
Passo 3
Integramos ambos os lados:
que resulta em
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Exponentiando ambos os lados, obtemos a solução geral
Definindo
como a população inicial em
, fica
Passo 5
Para achar o tempo de meia-vida, impomos
. Assim,
Passo 6
Aplicamos o logaritmo natural e isolamos
:
Como
, temos
Passo 7
Usando
,
Resposta
O tempo necessário para a população reduzir-se à metade é de aproximadamente
meses.