Verifique que a equação diferencial
y e^x y d x+x e^x y d y=0
é exata e encontre sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para verificar se a equação
y e^x y , dx + x e^x y , dy = 0
é exata e, se for, encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma equação diferencial ser exacta. Uma equação da forma
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
é exata se existir uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N
Ou seja, F(x, y) é uma função cuja derivada parcial em relação a x é M e em relação a y é N . Para verificar se a equação dada é exata, vamos calcular as derivadas parciais de M e N e ver se elas são iguais.

Passo 3

Identificamos M(x, y) = y e^x y e N(x, y) = x e^x y .
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y ( y e^x y )
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
partial Mpartial y = e^x y + x y e^x y
Agora, calculamos partial Npartial x :
partial Npartial x = partialpartial x ( x e^x y )
Novamente, aplicando a regra do produto e cadeia:
partial Npartial x = e^x y + x y e^x y

Passo 4

Observamos que:
partial Mpartial y = e^x y + x y e^x y = partial Npartial x
Como as derivadas parciais são iguais, a equação diferencial é exata. Isso significa que existe uma função F(x, y) tal que:
dF = M , dx + N , dy
Vamos agora encontrar essa função F(x, y) .

Passo 5

Para encontrar F(x, y) , integramos M(x, y) em relação a x :
F(x, y) = integral M(x, y) , dx + h(y)
onde h(y) é uma função de y que surge da integração.
Substituindo M(x, y) :
F(x, y) = integral y e^x y , dx + h(y)
Fazendo uma substituição simples, seja u = x y , então du = y , dx , o que simplifica a integral:
F(x, y) = integral e^u , du + h(y) = e^x y + h(y)

Passo 6

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y) :
partial Fpartial y = x e^x y + h'(y) = N(x, y) = x e^x y
Isso nos dá:
x e^x y + h'(y) = x e^x y
Simplificando:
h'(y) = 0
Integrando:
h(y) = C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^x y = C

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