Verifique que a equação diferencial
é exata e encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para verificar se a equação
é exata e, se for, encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa uma equação diferencial ser exacta. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que:
Ou seja,
é uma função cuja derivada parcial em relação a
é
e em relação a
é
. Para verificar se a equação dada é exata, vamos calcular as derivadas parciais de
e
e ver se elas são iguais.
Passo 3
Identificamos
e
.
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Agora, calculamos
:
Novamente, aplicando a regra do produto e cadeia:
Passo 4
Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação diferencial é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Vamos agora encontrar essa função
.
Passo 5
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função de
que surge da integração.
Substituindo
:
Fazendo uma substituição simples, seja
, então
, o que simplifica a integral:
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Simplificando:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: