Uma solução de salmoura flui a uma vazão de 8 L / min para um tanque grande que o início matinha 100 L de solução em que foi dissolvido 0,5 Kg de sal. A solução dentro do tanque é mantida bem agitada e sai na mesma vazão. Se a concentração de sal na salmoura que entra é de 0,05 Kg / L, determine a massa do sal no tanque após três minutos. Quando essa concentração atingirá 0,02 Kg / L ?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque inicialmente com 100 L de solução e 0,5 Kg de sal, com entrada de salmoura a 8 L/min e concentração 0,05 Kg/L e saída agitada na mesma vazão. Como o volume se mantém constante, basta escrever a equação diferencial que expressa “variação de massa de sal = entrada – saída”.

Passo 2

Definindo S(t) como a massa de sal (em Kg) no tanque no instante t (min), temos:
– Taxa de entrada de sal = 8,L/min times 0,05,Kg/L = 0,4,Kg/min.
– Concentração interna = S(t)100 Kg/L e vazão de saída = 8 L/min, logo taxa de saída =
8 times S(t)100 = 0,08,S(t)
Assim a equação diferencial fica
dSdt = 0,4 - 0,08,S, S(0)=0,5

Passo 3

É uma EDO linear de 1ª ordem com solução geral
S(t)=Sinfty + l(S(0)-Sinftyr)e^-0,08t,
onde
Sinfty=0,40,08=5
Substituindo S(0)=0,5 resulta
S(t)=5 - 4,5,e^-0,08t

Passo 4

A massa de sal após três minutos é
S(3)=5 - 4,5,e^-0,08cdot 3 =5 - 4,5,e^-0,24 approx 1,458 Kg

Passo 5

Queremos a concentração c(t)=S(t)100=0,02, isto é S(t)=2. Da expressão geral:
2 = 5 - 4,5,e^-0,08t
4,5,e^-0,08t=3
e^-0,08t=23
t=-10,08ln!l(23r)approx 5,07 min

Resposta

Massa de sal após 3 min: 1,458 Kg.
Concentração de 0,02 Kg/L atingida em aproximadamente 5,07 min.

Exercícios relacionados