Uma solução de salmoura flui a uma vazão de
para um tanque grande que o início matinha 100 L de solução em que foi dissolvido
de sal. A solução dentro do tanque é mantida bem agitada e sai na mesma vazão. Se a concentração de sal na salmoura que entra é de
, determine a massa do sal no tanque após três minutos. Quando essa concentração atingirá
?
Passo 1
O enunciado descreve um tanque inicialmente com
L de solução e
Kg de sal, com entrada de salmoura a
L/min e concentração
Kg/L e saída agitada na mesma vazão. Como o volume se mantém constante, basta escrever a equação diferencial que expressa “variação de massa de sal
entrada – saída”.
Passo 2
Definindo
como a massa de sal (em Kg) no tanque no instante
(min), temos:
– Taxa de entrada de sal ,L/min
,Kg/L
,Kg/min.
– Concentração interna Kg/L e vazão de saída
L/min, logo taxa de saída
– Taxa de entrada de sal
– Concentração interna
Assim a equação diferencial fica
Passo 3
É uma EDO linear de
ª ordem com solução geral
onde
Substituindo
resulta
Passo 4
A massa de sal após três minutos é
Passo 5
Queremos a concentração
, isto é
. Da expressão geral:
Resposta
Massa de sal após
min:
Kg.
Concentração de Kg/L atingida em aproximadamente
min.
Concentração de