Se f(x, y)=x^5-3 x^3 y^2-x+1, calcule
f(x, y+h)-f(x, y)h, h neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y) = x^5 - 3x^3y^2 - x + 1 . A questão pede para calcular f(x, y+h) - f(x, y)h onde h neq 0 . Isso vem do estudo de derivadas parciais, que ajuda a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda. Para resolver, vamos substituir y + h na função e fazer as contas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(x, y + h) . Substituímos y por y + h na função:
f(x, y + h) = x^5 - 3x^3(y + h)^2 - x + 1

Passo 3

Agora, precisamos expandir o termo (y + h)^2 . Lembrando que (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 :
(y + h)^2 = y^2 + 2yh + h^2
Substituindo na expressão de f(x, y + h) :
f(x, y + h) = x^5 - 3x^3(y^2 + 2yh + h^2) - x + 1

Passo 4

Vamos distribuir o -3x^3 dentro dos parênteses:
f(x, y + h) = x^5 - 3x^3y^2 - 6x^3yh - 3x^3h^2 - x + 1

Passo 5

Agora, vamos subtrair f(x, y) de f(x, y + h) :
f(x, y + h) - f(x, y) = (x^5 - 3x^3y^2 - 6x^3yh - 3x^3h^2 - x + 1) - (x^5 - 3x^3y^2 - x + 1)
Simplificando, os termos x^5 , -3x^3y^2 , -x e 1 se cancelam:
f(x, y + h) - f(x, y) = -6x^3yh - 3x^3h^2

Passo 6

Agora, vamos dividir essa diferença por h :
f(x, y + h) - f(x, y)h = -6x^3yh - 3x^3h^2h
Podemos simplificar dividindo cada termo por h :
f(x, y + h) - f(x, y)h = -6x^3y - 3x^3h

Resposta

Então, a expressão simplificada é:
f(x, y + h) - f(x, y)h = -6x^3y - 3x^3h

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