Seja f(x, y)= (x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) & ,(x, y) neq(0,0), 0 & ,(x, y)=(0,0)
Determine partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= (x^2+y^2)sinl(tfrac1x^2+y^2r),&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais tfracpartial fpartial x e tfracpartial fpartial y.
Para (x,y)neq(0,0) vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
No ponto (0,0) usaremos a definição de derivada parcial por limite.

Passo 2

Seja u=x^2+y^2. Para (x,y)neq(0,0) temos
f(x,y)=u;sinl(tfrac1ur)
Aplicando a regra do produto e da cadeia a partial f/partial x:
partial fpartial x =partial upartial x,sinl(tfrac1ur) +u,cosl(tfrac1ur),(-1),u^-2,partial upartial x
Como partial u/partial x=2x, isso vira
partial fpartial x =2x,sinl(tfrac1ur) -2x,u^-1,cosl(tfrac1ur) =2xl[sinl(tfrac1ur)-tfrac1ucosl(tfrac1ur)r]
De modo análogo, como partial u/partial y=2y,
partial fpartial y =2yl[sinl(tfrac1ur)-tfrac1ucosl(tfrac1ur)r]

Passo 3

No ponto (0,0) usamos a definição. Por exemplo,
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^2sinl(tfrac1h^2r)h =limhto0hsinl(tfrac1h^2r)=0,
pois lvert hsin(1/h^2)rvert<=|h|to0.
De forma idêntica tfracpartial fpartial y(0,0)=0.

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x =2xl[sinl(tfrac1x^2+y^2r) -tfrac1x^2+y^2cosl(tfrac1x^2+y^2r)r],
partial fpartial y =2yl[sinl(tfrac1x^2+y^2r) -tfrac1x^2+y^2cosl(tfrac1x^2+y^2r)r]
No ponto (0,0):
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0

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