Determine e esboce o domínio da função f se
f(x, y, z)=raizz-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y, z) = raizz - x^2 - y^2 e precisa descobrir qual é o domínio dessa função. Em outras palavras, quais valores de x , y e z a função está valendo a pena, ou seja, não dá erro. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções radicais (as que têm raiz) e as condições que fazem elas serem definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo dentro dos números reais. Isso significa que o que está dentro da raiz, que é z - x^2 - y^2 , não pode ser negativo. Se for negativo, a função não está definida para esses valores.

Passo 3

Então, para garantir que a raiz quadrada seja válida, a gente impõe a seguinte condição:
z - x^2 - y^2 >= 0
Isso garante que o que está dentro da raiz é zero ou positivo, evitando problemas.

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essa desigualdade para deixar mais claro qual é a relação entre z , x e y :
z >= x^2 + y^2
Isso quer dizer que o valor de z tem que ser, pelo menos, igual à soma dos quadrados de x e y .

Passo 5

Então, o domínio da função f é todo conjunto de números reais x , y e z que satisfazem a condição:
z >= x^2 + y^2
Isso significa que para qualquer ponto (x, y, z) no espaço tridimensional que respeite essa desigualdade, a função está bem definida.

Passo 6

Para esboçar o domínio, imagine o gráfico da equação z = x^2 + y^2 , que é uma paraboloide circular. O domínio da função f será toda a região acima dessa superfície, incluindo a própria parábola. Ou seja, qualquer ponto que esteja no ou acima da paraboloide satisfaz a condição z >= x^2 + y^2 .

Resposta

O domínio da função f(x, y, z) = raizz - x^2 - y^2 é o conjunto de todos os números reais x , y e z que satisfazem a condição z >= x^2 + y^2 . Graficamente, isso corresponde a toda a região acima da paraboloide z = x^2 + y^2 .

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