Determine e esboce o domínio da função
se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir qual é o domínio dessa função. Em outras palavras, quais valores de
,
e
a função está valendo a pena, ou seja, não dá erro. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções radicais (as que têm raiz) e as condições que fazem elas serem definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo dentro dos números reais. Isso significa que o que está dentro da raiz, que é
, não pode ser negativo. Se for negativo, a função não está definida para esses valores.
Passo 3
Então, para garantir que a raiz quadrada seja válida, a gente impõe a seguinte condição:
Isso garante que o que está dentro da raiz é zero ou positivo, evitando problemas.
Passo 4
Agora, vamos reorganizar essa desigualdade para deixar mais claro qual é a relação entre
,
e
:
Isso quer dizer que o valor de
tem que ser, pelo menos, igual à soma dos quadrados de
e
.
Passo 5
Então, o domínio da função
é todo conjunto de números reais
,
e
que satisfazem a condição:
Isso significa que para qualquer ponto
no espaço tridimensional que respeite essa desigualdade, a função está bem definida.
Passo 6
Para esboçar o domínio, imagine o gráfico da equação
, que é uma paraboloide circular. O domínio da função
será toda a região acima dessa superfície, incluindo a própria parábola. Ou seja, qualquer ponto que esteja no ou acima da paraboloide satisfaz a condição
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os números reais
,
e
que satisfazem a condição
. Graficamente, isso corresponde a toda a região acima da paraboloide
.