Se f(x, y)=x^5-3 x^3 y^2-x+1, calcule
f(x+h, y)-f(x, y)h, h neq 0;

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão pede para calcularmos a expressão f(x + h, y) - f(x, y)h, onde f(x, y) = x^5 - 3x^3y^2 - x + 1. Vamos usar conceitos de álgebra para expandir e simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, precisamos substituir x por x + h na função f(x, y). Isso significa que teremos:
f(x + h, y) = (x + h)^5 - 3(x + h)^3y^2 - (x + h) + 1

Passo 3

Agora, vamos expandir (x + h)^5 e (x + h)^3 usando a fórmula do binômio de Newton:
(x + h)^5 = x^5 + 5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5
(x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3

Passo 4

Substituindo essas expansões na expressão de f(x + h, y), temos:
f(x + h, y) = (x^5 + 5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5) - 3(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3)y^2 - x - h + 1

Passo 5

Agora, vamos distribuir o -3y^2 na segunda parte:
f(x + h, y) = x^5 + 5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5 - 3x^3y^2 - 9x^2y^2h - 9xy^2h^2 - 3y^2h^3 - x - h + 1

Passo 6

Agora, vamos montar a expressão que queremos calcular:
f(x + h, y) - f(x, y)h = [x^5 + 5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5 - 3x^3y^2 - 9x^2y^2h - 9xy^2h^2 - 3y^2h^3 - x - h + 1] - [x^5 - 3x^3y^2 - x + 1]h

Passo 7

Vamos simplificar subtraindo f(x, y):
5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5 - 9x^2y^2h - 9xy^2h^2 - 3y^2h^3 - hh

Passo 8

Agora, podemos dividir cada termo por h:
5x^4 + 10x^3h + 10x^2h^2 + 5xh^3 + h^4 - 9x^2y^2 - 9xy^2h - 3y^2h^2 - 1

Passo 9

Essa é a nossa resposta final após simplificar a expressão.

Resposta

f(x + h, y) - f(x, y)h = 5x^4 + 10x^3h + 10x^2h^2 + 5xh^3 + h^4 - 9x^2y^2 - 9xy^2h - 3y^2h^2 - 1

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