Questão 1 (3 pontos)
Calcule o limite, se existir.
lim t 2 raiz4 t+1-3t-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando t se aproxima de 2 da expressão raiz4t+1 - 3t - 2. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções radicais. Para resolver, vamos precisar manipular essa expressão para evitar a indeterminação que aparece quando substituímos t = 2 diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir t = 2 na expressão para ver o que acontece:
raiz4(2)+1 - 32 - 2 = raiz9 - 30 = 3 - 30 = 00
Essa forma 00 é uma indeterminação, o que significa que precisamos simplificar a expressão de outra maneira para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver esse tipo de limite é racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de raiz4t+1 - 3 é raiz4t+1 + 3. Vamos fazer isso:
raiz4t+1 - 3t - 2 times raiz4t+1 + 3raiz4t+1 + 3
No numerador, usamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2.

Passo 4

Agora, aplicando a identidade:
(raiz4t+1)^2 - 3^2(t - 2)(raiz4t+1 + 3) = 4t + 1 - 9(t - 2)(raiz4t+1 + 3) = 4t - 8(t - 2)(raiz4t+1 + 3)
Podemos fatorar o numerador:
4t - 8 = 4(t - 2)
Então, a expressão fica:
4(t - 2)(t - 2)(raiz4t+1 + 3)
Agora, cancelamos (t - 2) no numerador e denominador:
4raiz4t+1 + 3

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo t = 2:
4raiz4(2)+1 + 3 = 4raiz9 + 3 = 43 + 3 = 46 = 23

Resposta

O limite é 23.

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