Se f(x, y)=x^5-3 x^3 y^2-x+1, calcule
f(-y, y);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular $ f(-y, y) $ dado que $ f(x, y) = x^{5} - 3x{3}y{2} - x + 1 $. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar substituir os valores de $ x $ e $ y $ na função e simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular $ f(-y, y) $. Isso quer dizer que vamos substituir $ x $ por $ -y $ e manter $ y $ como está na função original. Então, vamos fazer essa substituição na expressão de $ f(x, y) $:
f(-y, y)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo dessa expressão um por um:
  1. Calculando $ (-y)^{5} $:
    Quando elevamos um número negativo a uma potência ímpar, o resultado continua negativo. Então:
    (-y)^5
  2. Calculando $ -3(-y){3}y{2} $:
    Primeiro, calculamos $ (-y)^{3} $. Como a potência é ímpar:
    (-y)^5 = -y^5
    Agora, multiplicamos por -3 e por $ y^{2} $:
    -3(-y)^3y^2
  3. Calculando $ -(-y) $:
    O duplo sinal negativo se cancela:
    (-y)^3
  4. Mantendo o $ +1 $:
    O número 1 fica igual, já que não há nada para calcular aqui.

Passo 4

Agora, vamos juntar todos os termos que calculamos:
f(-y, y) = -y^5 + 3y^5 + y + 1
Vamos simplificar os termos semelhantes:
- y^5 + 3y^5 = 2y^5
Então, a expressão fica:
2y^5 + y + 1

Resposta

Portanto, $ f(-y, y) = 2y^{5} + y + 1 $.

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