Determine e esboce o domínio da função f se
f(x, y, z)=raiz400-16 x^2-25 y^2-z^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função f(x, y, z) = raiz400 - 16x^2 - 25y^2 - z^2 e precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio é o conjunto de todos os valores de (x, y, z) para os quais a função está definida. Para isso, precisamos saber quais condições devem ser atendidas para que a expressão dentro da raiz quadrada seja válida.

Passo 2

Sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Portanto, temos a seguinte inequação:
400 - 16x^2 - 25y^2 - z^2 >= 0

Passo 3

Vamos reorganizar essa inequação para facilitar a visualização:
16x^2 + 25y^2 + z^2 <= 400
Essa expressão nos mostra que a soma dos termos quadráticos deve ser menor ou igual a 400.

Passo 4

Para entender melhor a forma dessa região no espaço, vamos dividir cada termo por 400:
16x^2400 + 25y^2400 + z^2400 <= 1
Simplificando as frações:
x^225 + y^216 + z^2400 <= 1

Passo 5

Essa inequação descreve um elipsoide no espaço tridimensional. Um elipsoide é uma figura geométrica parecida com uma esfera, mas com semi-eixos de diferentes comprimentos. No nosso caso:
  • O semi-eixo em x tem comprimento raiz25 = 5 .
  • O semi-eixo em y tem comprimento raiz16 = 4 .
  • O semi-eixo em z tem comprimento raiz400 = 20 .

Resposta

O domínio da função f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) que satisfazem a inequação x^225 + y^216 + z^2400 <= 1 . Geometricamente, isso corresponde a um elipsoide centrado na origem com semi-eixos de 5 unidades ao longo do eixo x , 4 unidades ao longo do eixo y e 20 unidades ao longo do eixo z .

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