Determine e esboce o domínio da função
se
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para isso, precisamos saber quais condições devem ser atendidas para que a expressão dentro da raiz quadrada seja válida.
Passo 2
Sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Portanto, temos a seguinte inequação:
Passo 3
Vamos reorganizar essa inequação para facilitar a visualização:
Essa expressão nos mostra que a soma dos termos quadráticos deve ser menor ou igual a 400.
Passo 4
Para entender melhor a forma dessa região no espaço, vamos dividir cada termo por 400:
Simplificando as frações:
Passo 5
Essa inequação descreve um elipsoide no espaço tridimensional. Um elipsoide é uma figura geométrica parecida com uma esfera, mas com semi-eixos de diferentes comprimentos. No nosso caso:
- O semi-eixo em
tem comprimento . - O semi-eixo em
tem comprimento . - O semi-eixo em
tem comprimento .
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a inequação
. Geometricamente, isso corresponde a um elipsoide centrado na origem com semi-eixos de 5 unidades ao longo do eixo
, 4 unidades ao longo do eixo
e 20 unidades ao longo do eixo
.