Calcule integral-infty^infty cos 2 xx^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral-infty^infty cos 2xx^2+4,dx. Isso envolve funções pares e integrais de transformada de Fourier/Laplace, então vamos usar paridade e uma fórmula padrão.

Passo 2

Observando que f(x)=cos2xx^2+4 é par, podemos escrever
integral-infty^infty cos2xx^2+4,dx = 2 integral0^infty cos2xx^2+4,dx

Passo 3

Existe uma fórmula clássica de integrais impróprias: para a>0 e b>0,
integral0^infty cos(ax)x^2+b^2,dx = pi2b e^-ab
Ela pode ser obtida por transformada de Laplace ou método dos resíduos.

Passo 4

Aqui temos a=2 e b=2. Substituindo na expressão com o fator 2 de paridade, obtemos
integral-infty^infty cos2xx^2+4,dx = 2 cdot pi2cdot2 e^-2cdot2 = pi2 e^-4

Resposta

pi2e^-4

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