Dada a função f(x)=1+x1-x, mostre que:
f(11+x)=2+xx, f(-x)=1f(x), f(1x)=-f(x), f(f(x))=-1x

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=1+x1-x
e pede para mostrarmos quatro propriedades envolvendo substituições e composições de f. O conteúdo aqui é manipular expressões algébricas e composições de funções.

Passo 2

Para calcular fl(tfrac11+xr), substituímos x por tfrac11+x em 1+x1-x:
fl(tfrac11+xr) =1 + tfrac11+x1 - tfrac11+x =tfrac1+x+11+xtfrac1+x-11+x =1+x+11+x-1 =2+xx

Passo 3

Para verificar f(-x)=tfrac1f(x), primeiro calculamos f(-x):
f(-x)=1+(-x)1-(-x) =1-x1+x
Por outro lado,
1f(x) =1tfrac1+x1-x =1-x1+x,
logo f(-x)=tfrac1f(x).

Passo 4

Agora calculamos fl(tfrac1xr):
fl(tfrac1xr) =1 + tfrac1x1 - tfrac1x =tfracx+1xtfracx-1x =x+1x-1
Compare com -f(x)=-tfrac1+x1-x. Observe que
-1+x1-x =-(1+x)1-x =x+1x-1,
portanto fl(tfrac1xr)=-f(x).

Passo 5

Finalmente, para f(f(x)), seja y=f(x)=tfrac1+x1-x. Então
f(f(x)) =f(y) =1+y1-y =1 + tfrac1+x1-x1 - tfrac1+x1-x =tfrac1-x+1+x1-xtfrac1-x-1-x1-x =tfrac21-xtfrac-2x1-x =-22x =-1x

Resposta

fl(tfrac11+xr)=2+xx, f(-x)=1f(x), fl(tfrac1xr)=-f(x), fl(f(x)r)=-1x

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