Calcule integral sen 6 x cos x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de sin(6x) cos(x) em relação a x. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que facilitam a simplificação da expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno com somas de senos. A identidade que vamos usar é:
sin A cos B = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Isso ajuda a simplificar o produto de senos e cossenos em uma soma de senos, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade trigonométrica com A = 6x e B = x, temos:
sin(6x) cos(x) = 12 [sin(6x + x) + sin(6x - x)] = 12 [sin(7x) + sin(5x)]
Agora, nossa integral fica:
integral sin(6x) cos(x) , dx = 12 integral [sin(7x) + sin(5x)] , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que a integral de sin(kx) em relação a x é:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando essa regra aos nossos termos, temos:
12 integral sin(7x) , dx = 12 ( -17 cos(7x) ) = -114 cos(7x)
12 integral sin(5x) , dx = 12 ( -15 cos(5x) ) = -110 cos(5x)

Passo 6

Juntando os dois resultados, a integral completa fica:
-114 cos(7x) - 110 cos(5x) + C

Resposta

Portanto, a integral de sin(6x) cos(x) em relação a x é:
integral sin(6x) cos(x) , dx = -114 cos(7x) - 110 cos(5x) + C
Onde C é a constante de integração.

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