Calcule integral sen 3 x sen 2 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sin 3x sin 2x , dx. Esse exercício é sobre integração de funções trigonométricas, especificamente envolvendo o produto de duas funções seno. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de senos em uma soma de cossenos, o que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar o produto de senos:
sin A sin B = cos(A - B) - cos(A + B)2
Aqui, vamos aplicar essa identidade com A = 3x e B = 2x.

Passo 3

Substituindo na identidade:
sin 3x sin 2x = cos(3x - 2x) - cos(3x + 2x)2 = cos x - cos 5x2
Agora, a integral original fica mais simples:
integral sin 3x sin 2x , dx = integral cos x - cos 5x2 , dx

Passo 4

Vamos separar a integral:
integral cos x - cos 5x2 , dx = 12 integral cos x , dx - 12 integral cos 5x , dx
Agora, vamos integrar cada termo individualmente.

Passo 5

Integrando cos x:
integral cos x , dx = sin x + C
E integrando cos 5x:
integral cos 5x , dx = sin 5x5 + C

Passo 6

Substituindo as integrais de volta na expressão:
12 sin x - 12 ( sin 5x5 ) + C = sin x2 - sin 5x10 + C

Resposta

A integral integral sin 3x sin 2x , dx é igual a:
sin x2 - sin 5x10 + C

Exercícios relacionados