Usar o teorema da divergência para calcular , sendo a superfície interior ao tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície . A superfície é o interior de um tetraedro delimitado pelos planos coordenados (os três planos , e ) e pelo plano . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência que relaciona uma integral de superfície com uma integral de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de superfície de uma forma mais conveniente. Observamos que a expressão pode ser interpretada como o produto escalar de um campo vetorial com o vetor normal à superfície . Então, a integral fica:
Passo 3
O Teorema da Divergência nos diz que:
Onde é a divergência do campo e é o volume interior ao tetraedro.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de :
Passo 5
Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume . O tetraedro é limitado pelos planos coordenados , , e pelo plano . Podemos resolver para :