Usar o teorema da divergência para calcular integral duplaS x^2 dydz+y^2 dzdx+z^2 dxdy , sendo S a superfície interior ao tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície integral duplaS x^2 , dy,dz + y^2 , dz,dx + z^2 , dx,dy . A superfície S é o interior de um tetraedro delimitado pelos planos coordenados (os três planos xy , yz e zx ) e pelo plano x + y + z = 2 . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência que relaciona uma integral de superfície com uma integral de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de superfície de uma forma mais conveniente. Observamos que a expressão x^2 , dy,dz + y^2 , dz,dx + z^2 , dx,dy pode ser interpretada como o produto escalar de um campo vetorial F = (x^2, y^2, z^2) com o vetor normal à superfície dS . Então, a integral fica:
integral duplaS F cdot dS

Passo 3

O Teorema da Divergência nos diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde nabla cdot F é a divergência do campo F e V é o volume interior ao tetraedro.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F = (x^2, y^2, z^2) :
nabla cdot F = partialpartial x(x^2) + partialpartial y(y^2) + partialpartial z(z^2) = 2x + 2y + 2z

Passo 5

Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume V . O tetraedro é limitado pelos planos coordenados x=0 , y=0 , z=0 e pelo plano x + y + z = 2 . Podemos resolver para z :
z = 2 - x - y
Então, os limites são:
  • x varia de 0 a 2
  • Para cada x , y varia de 0 a 2 - x
  • Para cada y , z varia de 0 a 2 - x - y

Passo 6

Vamos configurar a integral de volume:
integral triplaV (2x + 2y + 2z) , dV = integral0^2 integral0^2 - x integral0^2 - x - y (2x + 2y + 2z) , dz , dy , dx

Passo 7

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integral0^2 - x - y (2x + 2y + 2z) , dz = [ 2x z + 2y z + z^2 ]0^2 - x - y = 2x(2 - x - y) + 2y(2 - x - y) + (2 - x - y)^2
Simplificando:
= 4x - 2x^2 - 2x y + 4y - 2x y - 2y^2 + 4 - 4x - 4y + x^2 + 2x y + y^2
= (-2x^2 + x^2) + (-2y^2 + y^2) + (4x - 4x) + (4y - 4y) + (-2x y - 2x y + 2x y) + 4
= -x^2 - y^2 - 4x y + 4

Passo 8

Agora, integramos com relação a y :
integral0^2 - x (-x^2 - y^2 - 4x y + 4) , dy = -x^2 y - y^33 - 2x y^2 + 4y g|0^2 - x
Substituindo y = 2 - x :
= -x^2(2 - x) - (2 - x)^33 - 2x (2 - x)^2 + 4(2 - x)
Simplificando cada termo:
= -2x^2 + x^3 - 8 - 12x + 6x^2 - x^33 - 2x(4 - 4x + x^2) + 8 - 4x
= -2x^2 + x^3 - 83 + 4x - 2x^2 + x^33 - 8x + 8x^2 - 2x^3 + 8 - 4x
Combinando termos semelhantes:
= ( x^3 + x^33 - 2x^3 ) + ( -2x^2 - 2x^2 + 8x^2 ) + ( 4x - 8x - 4x ) + ( -83 + 8 )
= ( -2x^33 ) + ( 4x^2 ) + ( -8x ) + ( 163 )

Passo 9

Agora, integramos com relação a x :
integral0^2 ( -2x^33 + 4x^2 - 8x + 163 ) , dx = -23 cdot x^44 + 4x^33 - 4x^2 + 16x3 g|0^2
Calculando em x = 2 :
= -23 cdot 164 + 4 cdot 83 - 4 cdot 4 + 16 cdot 23 = -83 + 323 - 16 + 323
Somando os termos:
= ( -83 + 323 + 323 ) - 16 = 563 - 16 = 56 - 483 = 83

Resposta

A integral vale 83 .

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