Determine alpha e beta de modo que
r sen 3 x sen 2 x=-12(cos alpha x-cos beta x) ( Su>=stão: sen a sen b=12[cos (a-b)-cos (a+b)] ) ã

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma expressão trigonométrica envolvendo senos de múltiplos ângulos e precisamos encontrar os valores de alpha e beta que tornam a igualdade verdadeira. O conteúdo que vamos usar aqui é a identidade trigonométrica para o produto de senos:
sin a cdot sin b = 12 [cos(a - b) - cos(a + b)]
Vamos utilizar essa fórmula para resolver o exercício.

Passo 2

Vamos aplicar a identidade trigonométrica sugerida na expressão dada:
sin 3x cdot sin 2x = 12 [cos(3x - 2x) - cos(3x + 2x)]
Simplificando dentro dos parênteses:
sin 3x cdot sin 2x = 12 [cos x - cos 5x]

Passo 3

Agora, comparando com a expressão original da questão:
sin 3x cdot sin 2x = -12 (cos alpha x - cos beta x)
Podemos igualar as duas expressões:
12 (cos x - cos 5x) = -12 (cos alpha x - cos beta x)

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por 2 para eliminar os denominadores:
cos x - cos 5x = -(cos alpha x - cos beta x)
Distribuindo o sinal negativo:
cos x - cos 5x = -cos alpha x + cos beta x

Passo 5

Rearranjando os termos para facilitar a comparação:
cos x + cos beta x = cos 5x + cos alpha x
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x, os termos correspondentes devem ser iguais. Isso significa que:
beta = 1 e alpha = 5

Resposta

Os valores que satisfazem a igualdade são alpha = 5 e beta = 1.

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