Calcule:
lim x 1 raizx^2-1x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão que temos é calcular:
limx 1 raizx^2-1x-1
Aqui, estamos lidando com limites, um conceito fundamental no cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de determinado valor. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão dentro da raiz para simplificar e eliminar possíveis indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz:
x^2-1x-1
Perceba que o numerador x^2 - 1 é uma diferença de quadrados, o que podemos fatorar. A diferença de quadrados é uma identidade algébrica que diz que:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Aplicando isso ao nosso numerador, temos:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Passo 3

Agora, substituímos o numerador original pela fatoração que encontramos:
(x - 1)(x + 1)x - 1
Aqui, notamos que x - 1 está tanto no numerador quanto no denominador. Se x neq 1, podemos simplificar esses termos:
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1
Isso simplifica bastante a expressão dentro da raiz!

Passo 4

Agora, substituímos essa simplificação de volta na expressão original do limite:
limx 1 raizx + 1
Isso ficou muito mais simples! Agora, tudo que precisamos fazer é substituir x por 1 na expressão dentro da raiz.

Passo 5

Vamos substituir x = 1 na expressão:
raiz1 + 1 = raiz2
Portanto, o limite que estávamos calculando é igual à raiz quadrada de 2.

Resposta

O limite é igual a raiz2.

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