Calcule:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
No numerador:
No denominador:
Obtemos
, uma forma indeterminada, então podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Ou seja:
desde que o limite original resulte em
ou
.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite fica:
Podemos simplificar essa expressão cancelando
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a
.