Calcule:
lim x 1 (3-x^3)^4-16x^3-1

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 1 (3 - x^3)^4 -16x^3 -1. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como 00.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 1 diretamente na expressão:
No numerador:
(3 - (1)^3)^4 -16 = (3 -1)^4 -16 = 2^4 -16 = 16 -16 = 0
No denominador:
(1)^3 -1 = 1 -1 = 0
Obtemos 00, uma forma indeterminada, então podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Ou seja:
lim x 1 f(x)g(x) = lim x 1 f'(x)g'(x)
desde que o limite original resulte em 00 ou inftyinfty.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
ddx [(3 - x^3)^4 -16] = 4(3 - x^3)^3 cdot (-3x^2) = -12x^2(3 - x^3)^3
Derivada do denominador:
ddx [x^3 -1] = 3x^2

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite fica:
lim x 1 -12x^2(3 - x^3)^33x^2
Podemos simplificar essa expressão cancelando x^2:
-12x^2(3 - x^3)^33x^2 = -4(3 - x^3)^3

Passo 6

Agora, substituímos x = 1 na expressão simplificada:
-4(3 - (1)^3)^3 = -4(3 -1)^3 = -4 cdot 2^3 = -4 cdot 8 = -32

Resposta

O limite é igual a -32.

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