Determine a solução das equações abaixo em série de potências de x, em torno de x0=0. Dê um intervalo onde a solução é válida.
(4-x^2) y^prime prime+2 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial (4 - x^2) y'' + 2y = 0 e queremos encontrar a solução em série de potências em torno de x0 = 0. Para resolver isso, vamos usar a técnica de séries de potências, que é uma forma de expressar soluções de equações diferenciais como somas infinitas de termos envolvendo potências de x. Isso é útil quando não conseguimos resolver a equação de forma direta. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e como trabalhar com séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências em torno de x = 0:
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Onde an são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y(x):
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
y''(x) = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2

Passo 4

Substituímos y(x) e y''(x) na equação diferencial original:
(4 - x^2) ( sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 ) + 2 ( sumn=0^infty an x^n ) = 0

Passo 5

Vamos distribuir o termo (4 - x^2):
4 sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 - sumn=2^infty n (n-1) an x^n + 2 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 6

Vamos ajustar os índices das somas para termos potências de x^n. Para a primeira soma, fazemos k = n - 2:
4 sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k - sumn=2^infty n (n-1) an x^n + 2 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 7

Agora, renomeamos k de volta para n:
4 sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - sumn=2^infty n (n-1) an x^n + 2 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 8

Para combinar as somas, precisamos que todas comecem no mesmo índice. Ajustamos a segunda soma para começar em n=0:
4 sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - sumn=0^infty n (n-1) an x^n + 2 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 9

Agora, combinamos as somas:
sumn=0^infty [ 4(n+2)(n+1) an+2 - n(n-1) an + 2 an ] x^n = 0

Passo 10

Para que a equação seja verdadeira para todos os x, os coeficientes de cada x^n devem ser iguais a zero:
4(n+2)(n+1) an+2 - n(n-1) an + 2 an = 0
Simplificando:
4(n+2)(n+1) an+2 + [ -n(n-1) + 2 ] an = 0

Passo 11

Resolvemos para an+2:
an+2 = n(n-1) - 24(n+2)(n+1) an

Passo 12

Essa é a relação de recorrência que nos permite determinar os coeficientes an+2 em função de an. Precisamos de condições iniciais para encontrar uma solução específica. Geralmente, assumimos a0 e a1 como constantes arbitrárias.

Passo 13

Vamos calcular os primeiros termos da série usando a relação de recorrência:
Para n=0:
a2 = 0(0-1) - 24(2)(1) a0 = -28 a0 = -14 a0
Para n=1:
a3 = 1(1-1) - 24(3)(2) a1 = -224 a1 = -112 a1
E assim por diante.

Passo 14

Portanto, a solução geral em série de potências é:
y(x) = a0 ( 1 - 14 x^2 + cdots ) + a1 ( x - 112 x^3 + cdots )
Onde os cdots representam os termos de ordem superior obtidos usando a relação de recorrência.

Passo 15

Agora, para determinar o intervalo de validade da série, observamos que a série de potências converge dentro do raio de convergência definido pelos pontos onde a equação diferencial tem singularidades. A equação (4 - x^2) y'' + 2y = 0 tem singularidades quando 4 - x^2 = 0, ou seja, em x = pm 2. Portanto, o intervalo de validade da solução em série de potências centrada em x=0 é |x| < 2.

Resposta

A solução geral da equação (4 - x^2) y'' + 2y = 0 em série de potências em torno de x0 = 0 é:
y(x) = a0 ( 1 - 14 x^2 + cdots ) + a1 ( x - 112 x^3 + cdots )
Onde a0 e a1 são constantes arbitrárias. Essa solução é válida no intervalo |x| < 2.

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