Determine a solução das equações abaixo em série de potências de
, em torno de
. Dê um intervalo onde a solução é válida.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
e queremos encontrar a solução em série de potências em torno de
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de séries de potências, que é uma forma de expressar soluções de equações diferenciais como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Isso é útil quando não conseguimos resolver a equação de forma direta. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e como trabalhar com séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Onde
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos distribuir o termo
:
Passo 6
Vamos ajustar os índices das somas para termos potências de
. Para a primeira soma, fazemos
:
Passo 7
Agora, renomeamos
de volta para
:
Passo 8
Para combinar as somas, precisamos que todas comecem no mesmo índice. Ajustamos a segunda soma para começar em
:
Passo 9
Agora, combinamos as somas:
Passo 10
Para que a equação seja verdadeira para todos os
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero:
Simplificando:
Passo 11
Resolvemos para
:
Passo 12
Essa é a relação de recorrência que nos permite determinar os coeficientes
em função de
. Precisamos de condições iniciais para encontrar uma solução específica. Geralmente, assumimos
e
como constantes arbitrárias.
Passo 13
Vamos calcular os primeiros termos da série usando a relação de recorrência:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 14
Portanto, a solução geral em série de potências é:
Onde os
representam os termos de ordem superior obtidos usando a relação de recorrência.
Passo 15
Agora, para determinar o intervalo de validade da série, observamos que a série de potências converge dentro do raio de convergência definido pelos pontos onde a equação diferencial tem singularidades. A equação
tem singularidades quando
, ou seja, em
. Portanto, o intervalo de validade da solução em série de potências centrada em
é
.
Resposta
A solução geral da equação
em série de potências em torno de
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias. Essa solução é válida no intervalo
.