Determine qual o raio do maior círculo no plano complexo, com centro na origem, tal que as equações abaixo possuem solução geral em série de potências:
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+alpha(alpha+1) y=0, onde alpha in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é encontrar o raio do maior círculo no plano complexo, centrado na origem, onde a equação diferencial dada tem solução geral que pode ser representada como uma série de potências. A equação que estamos trabalhando é:
(1 - x^2) y'' - 2x y' + alpha(alpha + 1) y = 0
Aqui, alpha é um número real. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a equação tem pontos problemáticos, ou seja, onde os coeficientes da equação se tornam zero ou indefinidos, porque esses pontos vão influenciar no raio de convergência da série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilita a identificação dos pontos problemáticos. A gente coloca tudo em termos de y'', y' e y dividindo ambos os lados por (1 - x^2):
y'' - 2x1 - x^2 y' + alpha(alpha + 1)1 - x^2 y = 0
Agora, temos os coeficientes:
P(x) = -2x1 - x^2
Q(x) = alpha(alpha + 1)1 - x^2

Passo 3

Os pontos problemáticos, ou singularidades, aparecem onde os coeficientes P(x) e Q(x) se tornam indefinidos ou infinitos. Isso acontece quando o denominador 1 - x^2 é igual a zero. Então, vamos resolver 1 - x^2 = 0:
1 - x^2 = 0
x^2 = 1
x = pm1
Portanto, os pontos singulars são x = 1 e x = -1.

Passo 4

Para encontrar o raio do maior círculo onde a série de potências é válida, a gente precisa ver qual é a distância entre o centro desse círculo (que é a origem, 0) e o ponto singular mais próximo. Como temos singularidades em x = 1 e x = -1, a distância de 0 até qualquer um desses pontos é 1.

Passo 5

Então, o raio do maior círculo que a gente pode ter para a solução em série de potências começar na origem e continuar sem problemas é justamente essa distância, que é 1. Isso significa que a série vai convergir para todos os pontos dentro desse círculo, mas pode ter problemas na fronteira ou fora dele.

Resposta

O raio do maior círculo no plano complexo, com centro na origem, onde a equação dada possui solução geral em série de potências, é boxed1.

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