Determine qual o raio do maior círculo no plano complexo, com centro na origem, tal que as equações abaixo possuem solução geral em série de potências:
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é encontrar o raio do maior círculo no plano complexo, centrado na origem, onde a equação diferencial dada tem solução geral que pode ser representada como uma série de potências. A equação que estamos trabalhando é:
Aqui,
é um número real. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a equação tem pontos problemáticos, ou seja, onde os coeficientes da equação se tornam zero ou indefinidos, porque esses pontos vão influenciar no raio de convergência da série de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilita a identificação dos pontos problemáticos. A gente coloca tudo em termos de
,
e
dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos os coeficientes:
Passo 3
Os pontos problemáticos, ou singularidades, aparecem onde os coeficientes
e
se tornam indefinidos ou infinitos. Isso acontece quando o denominador
é igual a zero. Então, vamos resolver
:
Portanto, os pontos singulars são
e
.
Passo 4
Para encontrar o raio do maior círculo onde a série de potências é válida, a gente precisa ver qual é a distância entre o centro desse círculo (que é a origem,
) e o ponto singular mais próximo. Como temos singularidades em
e
, a distância de
até qualquer um desses pontos é
.
Passo 5
Então, o raio do maior círculo que a gente pode ter para a solução em série de potências começar na origem e continuar sem problemas é justamente essa distância, que é
. Isso significa que a série vai convergir para todos os pontos dentro desse círculo, mas pode ter problemas na fronteira ou fora dele.
Resposta
O raio do maior círculo no plano complexo, com centro na origem, onde a equação dada possui solução geral em série de potências, é
.