Calcule:
lim x -1 raiz[3]x+2-1x+1

Passo 1

O enunciado pede
limxto -1raiz[3]x+2-1x+1,
que tem forma indeterminada 0/0. O conteúdo aqui é limite de quociente com radiciação de índice 3, e vamos usar manipulação algébrica via fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Faço a mudança de variável
t = x+2,
então quando xto -1 temos tto1 e
x+1 = (t-2)+1 = t-1

Passo 3

Reescrevo o limite em função de t:
limxto -1raiz[3]x+2-1x+1 = limtto1raiz[3]t-1t-1

Passo 4

Uso a fatoração de diferença de cubos: para a=raiz[3]t e b=1 vale
a^3-b^3=(a-b),(a^2+ab+b^2),
ou seja
t-1 = (raiz[3]t-1)l(raiz[3]t^2+raiz[3]t+1r)
Logo
raiz[3]t-1t-1 =1raiz[3]t^2+raiz[3]t+1,
e, ao fazermos tto1, o denominador vai a 1+1+1=3.

Resposta

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