Calcule lim x 0 cos (x)-1+x^22x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão cos(x) - 1 + x^22x^4. Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função cosseno, que nos ajuda a aproximar funções próximas de um ponto, nesse caso, x = 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para o cosseno de x em torno de 0 (série de Maclaurin). A série é:
cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - x^6720 + dots
Como vamos dividir por x^4 , precisamos expandir até o termo de x^4 .

Passo 3

Agora, substituímos a expansão da série de Taylor na expressão dada:
cos(x) - 1 + x^22 = (1 - x^22 + x^424 - dots) - 1 + x^22
Simplificando isso:
cos(x) - 1 + x^22 = x^424 - dots
Os termos de ordem inferior se cancelam.

Passo 4

Agora, colocamos isso de volta na fração original:
cos(x) - 1 + x^22x^4 = x^424 - dotsx^4 = 124 - dots
Os termos superiores a x^4 vão se tornar insignificantes quando x tende a 0.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o limite:
limx 0 cos(x) - 1 + x^22x^4 = 124

Resposta

O limite é 124 .

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