Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função cosseno, que nos ajuda a aproximar funções próximas de um ponto, nesse caso,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para o cosseno de
em torno de 0 (série de Maclaurin). A série é:
Como vamos dividir por
, precisamos expandir até o termo de
.
Passo 3
Agora, substituímos a expansão da série de Taylor na expressão dada:
Simplificando isso:
Os termos de ordem inferior se cancelam.
Passo 4
Agora, colocamos isso de volta na fração original:
Os termos superiores a
vão se tornar insignificantes quando
tende a 0.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular o limite:
Resposta
O limite é
.