Escreva os cinco primeiros termos e em seguida teste a convergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever os cinco primeiros termos da série e depois verificar se essa série converge ou não. A matéria que a gente vai usar aqui envolve séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Razão. Vamos precisar entender como calcular os termos da série e aplicar o teste para ver se a soma dos termos tende a um número finito.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os cinco primeiros termos da série. A série é dada por:
Vamos calcular para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Então, os cinco primeiros termos são: 2, 2, 1,714, 1,371 e 1,055.
Passo 3
Agora que temos os termos, vamos testar a convergência da série. Um bom método para séries com termos positivos e que envolvem produtos é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se a série converge ou diverge calculando o limite da razão entre termos consecutivos.
O Teste da Razão funciona assim:
Se L < 1 , a série converge.
Se L > 1 , a série diverge.
Se L = 1 , o teste é indeterminado e precisamos usar outro método.