Escreva os cinco primeiros termos e em seguida teste a convergência das séries:
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots 2 n1 cdot 4 cdot 7 ldots(3 n-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever os cinco primeiros termos da série e depois verificar se essa série converge ou não. A matéria que a gente vai usar aqui envolve séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Razão. Vamos precisar entender como calcular os termos da série e aplicar o teste para ver se a soma dos termos tende a um número finito.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os cinco primeiros termos da série. A série é dada por:
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots 2n1 cdot 4 cdot 7 ldots (3n-2)
Vamos calcular para n = 1, 2, 3, 4, 5 :
  • Para n = 1 :
21 = 2
  • Para n = 2 :
2 cdot 41 cdot 4 = 84 = 2
  • Para n = 3 :
2 cdot 4 cdot 61 cdot 4 cdot 7 = 4828 = 127 approx 1,714
  • Para n = 4 :
2 cdot 4 cdot 6 cdot 81 cdot 4 cdot 7 cdot 10 = 384280 = 9670 approx 1,371
  • Para n = 5 :
2 cdot 4 cdot 6 cdot 8 cdot 101 cdot 4 cdot 7 cdot 10 cdot 13 = 38403640 = 192182 approx 1,055
Então, os cinco primeiros termos são: 2, 2, 1,714, 1,371 e 1,055.

Passo 3

Agora que temos os termos, vamos testar a convergência da série. Um bom método para séries com termos positivos e que envolvem produtos é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se a série converge ou diverge calculando o limite da razão entre termos consecutivos.
O Teste da Razão funciona assim:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1 , a série converge.
  • Se L > 1 , a série diverge.
  • Se L = 1 , o teste é indeterminado e precisamos usar outro método.
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 4

Vamos encontrar an e an+1 :
an = 2 cdot 4 cdot 6 cdots 2n1 cdot 4 cdot 7 ldots (3n-2)
an+1 = 2 cdot 4 cdot 6 cdots 2n cdot 2(n+1)1 cdot 4 cdot 7 ldots (3n-2) cdot [3(n+1)-2]
Simplificando an+1 :
an+1 = an cdot 2(n+1)3n + 1
Agora, vamos calcular a razão an+1an :
an+1an = 2(n+1)3n + 1

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 2(n+1)3n + 1 = limn to infty 2n + 23n + 1
Para resolver esse limite, dividimos numerador e denominador por n :
L = limn to infty 2 + 2n3 + 1n = 2 + 03 + 0 = 23

Passo 6

Como o limite L = 23 é menor que 1 ( L < 1 ), pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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