Escreva os cinco primeiros termos e em seguida teste a convergência das séries:
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5) ldots(2 n-1)n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer duas coisas: primeiro, escrever os cinco primeiros termos da série sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 ldots (2n-1)n! e, depois, verificar se essa série converge. Para isso, a gente vai usar conceitos de séries matemáticas e alguns testes de convergência.

Passo 2

Vamos começar encontrando os cinco primeiros termos da série. A fórmula geral do termo é 1 cdot 3 cdot 5 ldots (2n-1)n!. Isso significa que para cada valor de n, a gente multiplica os números ímpares até chegar em (2n-1) e divide pelo fatorial de n.

Passo 3

Vamos calcular termo por termo:
  • Para n = 1:
11! = 11 = 1
  • Para n = 2:
1 cdot 32! = 32 = 1,5
  • Para n = 3:
1 cdot 3 cdot 53! = 156 = 2,5
  • Para n = 4:
1 cdot 3 cdot 5 cdot 74! = 10524 approx 4,375
  • Para n = 5:
1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot 95! = 945120 = 7,875

Passo 4

Então, os cinco primeiros termos da série são: 1, 1,5, 2,5, 4,375 e 7,875.

Passo 5

Agora, vamos testar a convergência da série. Observando os termos que calculamos, vemos que eles estão aumentando. Para verificar se a série converge ou não, vamos usar o Teste da Série Geométrica ou o Teste da Relação. Nesse caso, o Teste da Relação é mais adequado.

Passo 6

O Teste da Relação analisa o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se o limite for maior ou igual a 1, a série diverge. Vamos calcular:
limn to infty an+1an = limn to infty 1 cdot 3 cdot 5 ldots (2(n+1)-1)(n+1)! div 1 cdot 3 cdot 5 ldots (2n-1)n!
Simplificando:
= limn to infty 2n+1n+1 = limn to infty 2 + 1n1 + 1n = 2

Passo 7

Como o limite é 2, que é maior que 1, pelo Teste da Relação, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 ldots (2n-1)n! diverge.

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