Escreva os cinco primeiros termos e em seguida teste a convergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer duas coisas: primeiro, escrever os cinco primeiros termos da série
e, depois, verificar se essa série converge. Para isso, a gente vai usar conceitos de séries matemáticas e alguns testes de convergência.
Passo 2
Vamos começar encontrando os cinco primeiros termos da série. A fórmula geral do termo é
. Isso significa que para cada valor de
, a gente multiplica os números ímpares até chegar em
e divide pelo fatorial de
.
Passo 3
Vamos calcular termo por termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Então, os cinco primeiros termos da série são:
,
,
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos testar a convergência da série. Observando os termos que calculamos, vemos que eles estão aumentando. Para verificar se a série converge ou não, vamos usar o Teste da Série Geométrica ou o Teste da Relação. Nesse caso, o Teste da Relação é mais adequado.
Passo 6
O Teste da Relação analisa o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se o limite for maior ou igual a 1, a série diverge. Vamos calcular:
Simplificando:
Passo 7
Como o limite é
, que é maior que
, pelo Teste da Relação, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.