Encontre os valores de x que tornam a série sumn=1^infty x^2 n convergente e calcule o valor da soma.
Idem para a série 12+x-34+(x-3)^28+cdots+(x-3)^n2^n+1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries infinitas e precisamos encontrar os valores de x que fazem com que essas séries converjam, ou seja, que elas não “explodam” para o infinito. Além disso, devemos calcular o valor dessas somas quando elas convergem.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries da forma sumn=0^infty ar^n , onde a é o primeiro termo e r é a razão comum entre os termos consecutivos. A série geométrica converge se o valor absoluto de r for menor que 1 ( |r| < 1 ), e a soma da série pode ser calculada usando a fórmula a1 - r .

Passo 2

Vamos começar com a primeira série: sumn=1^infty x^2n .
Primeiro, vamos reescrever essa série para facilitar a identificação da série geométrica. Note que x^2n = (x^2)^n . Então, podemos escrever:
sumn=1^infty x^2n = sumn=1^infty (x^2)^n
Essa é uma série geométrica onde a razão r = x^2 . Para que a série converja, precisamos que:
|r| = |x^2| < 1 implies |x| < 1
Agora que sabemos que a série converge para |x| < 1 , vamos calcular a soma da série. Como a série começa em n=1 , podemos ajustar a fórmula da soma da série geométrica que normalmente começa em n=0 :
sumn=1^infty r^n = r1 - r
Substituindo r = x^2 :
sumn=1^infty x^2n = x^21 - x^2

Passo 3

Agora, vamos para a segunda série: 12 + x-34 + (x-3)^28 + cdots + (x-3)^n2^n+1 .
Primeiro, vamos identificar o padrão dos termos. Observamos que cada termo pode ser escrito como:
(x-3)^n2^n+1
Isso pode ser reescrito como:
(x-3)^n2 cdot 2^n = 12 ( x-32 )^n
Portanto, a série é:
sumn=0^infty 12 ( x-32 )^n
Aqui, o primeiro termo a = 12 e a razão r = x-32 . Para a série convergir, precisamos que:
|r| = | x-32 | < 1
Resolvendo a desigualdade:
| x-32 | < 1 implies |x - 3| < 2 implies 1 < x < 5
Agora que sabemos que a série converge para 1 < x < 5 , vamos calcular a soma da série geométrica. A fórmula para a soma é a1 - r :
sumn=0^infty 12 ( x-32 )^n = 121 - x-32 = 122 - (x - 3)2 = 12 cdot 25 - x = 15 - x

Resposta

Para a primeira série sumn=1^infty x^2n :
  • Valores de x que garantem convergência: |x| < 1 .
  • Valor da soma: x^21 - x^2 .
Para a segunda série 12 + x-34 + (x-3)^28 + cdots + (x-3)^n2^n+1 :
  • Valores de x que garantem convergência: 1 < x < 5 .
  • Valor da soma: 15 - x .

Exercícios relacionados