Encontre os valores de que tornam a série convergente e calcule o valor da soma.
Idem para a série
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries infinitas e precisamos encontrar os valores de que fazem com que essas séries converjam, ou seja, que elas não “explodam” para o infinito. Além disso, devemos calcular o valor dessas somas quando elas convergem.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries da forma , onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos consecutivos. A série geométrica converge se o valor absoluto de for menor que 1 (), e a soma da série pode ser calculada usando a fórmula .
Passo 2
Vamos começar com a primeira série: .
Primeiro, vamos reescrever essa série para facilitar a identificação da série geométrica. Note que . Então, podemos escrever:
Essa é uma série geométrica onde a razão . Para que a série converja, precisamos que:
Agora que sabemos que a série converge para , vamos calcular a soma da série. Como a série começa em , podemos ajustar a fórmula da soma da série geométrica que normalmente começa em :
Substituindo :
Passo 3
Agora, vamos para a segunda série: .
Primeiro, vamos identificar o padrão dos termos. Observamos que cada termo pode ser escrito como:
Isso pode ser reescrito como:
Portanto, a série é:
Aqui, o primeiro termo e a razão . Para a série convergir, precisamos que: