Calcule f^prime e f^prime prime :
f(t)=3 t^2 i+e^-t j+ln (t^2+1) k;

Passo 1

O enunciado dá uma função vetorial
f(t)=3t^2,i+e^-t,j+lnl(t^2+1r),k
e pede f'(t) e f''(t). Para isso, vamos derivar componente a componente, usando a regra de derivação de soma e as regras usuais (potência, exponencial, logaritmo e quociente).

Passo 2

Derivamos a primeira componente 3t^2:
ddtl(3t^2r)=6t

Passo 3

Derivamos a segunda componente e^-t:
ddtl(e^-tr)=-,e^-t

Passo 4

Derivamos a terceira componente ln(t^2+1) usando a regra da cadeia:
ddtlnl(t^2+1r) =1t^2+1cdot 2t =2tt^2+1
Portanto,
f'(t)=6t,i-e^-t,j+2tt^2+1,k

Passo 5

Agora calculamos f''(t) derivando f'(t) componente a componente:
  • Para 6t:
    dfracddt(6t)=6
  • Para -e^-t:
    dfracddt(-e^-t)=e^-t
  • Para dfrac2tt^2+1, aplicamos regra do quociente:
ddt!l(2tt^2+1r) =2,(t^2+1)-2tcdot2t(t^2+1)^2 =2t^2+2-4t^2(t^2+1)^2 =2(1-t^2)(t^2+1)^2

Passo 6

Juntando essas derivadas, obtemos
f''(t)=6,i+e^-t,j+2(1-t^2)(t^2+1)^2,k

Resposta

f'(t)=6t,i-e^-t,j+2tt^2+1,k, f''(t)=6,i+e^-t,j+2(1-t^2)(t^2+1)^2,k

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