As coordenadas parabólicas (q1, q2, q3)=(u, v, theta) são definidas por
x=u v cos theta, y=u v sin theta, z=12(u^2-v^2)
onde u in[0, infty), v in[0, infty), theta in[0,2 pi).
Calcule a base covariante varepsiloni=partial rpartial qi. A base é ortogonal?

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação das coordenadas parabólicas (q1,q2,q3)=(u,v,theta) em coordenadas cartesianas pela regra:
x = u,vcostheta, y = u,vsintheta, z = 12l(u^2 - v^2r)
Queremos calcular a base covariante varepsiloni = partial r/partial qi e verificar se ela é ortogonal. Para isso precisamos derivar o vetor posição r(u,v,theta) = x,i + y,j + z,k em relação a cada coordenada.

Passo 2

Derivando em relação a u, obtemos
varepsilonu = partialrpartial u = l(vcosthetar),i + l(vsinthetar),j + l(ur),k

Passo 3

Derivando em relação a v, obtemos
varepsilonv = partialrpartial v = l(ucosthetar),i + l(usinthetar),j + l(-vr),k

Passo 4

Derivando em relação a theta, obtemos
varepsilontheta = partialrpartial theta = l(-u,vsinthetar),i + l(u,vcosthetar),j + 0,k

Passo 5

Para verificar ortogonalidade, calculamos os produtos escalares:
varepsilonucdotvarepsilonv = vcosthetacdot ucostheta + vsinthetacdot usintheta + ucdot(-v) = u,v(cos^2theta+sin^2theta) -u,v =0,
varepsilonucdotvarepsilontheta = vcosthetacdot(-u,vsintheta) + vsinthetacdot(u,vcostheta) + ucdot0 =0,
varepsilonvcdotvarepsilontheta = ucosthetacdot(-u,vsintheta) + usinthetacdot(u,vcostheta) +(-v)cdot0 =0
Como todos os produtos mistos dão zero, a base é ortogonal.

Resposta

varepsilonu = vcostheta,i + vsintheta,j + u,k,
varepsilonv = ucostheta,i + usintheta,j - v,k,
varepsilontheta = -u,vsintheta,i + u,vcostheta,j,
e essa base é ortogonal.

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